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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Do 05.11.2009 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass für alle k,n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \vektor{n \\ k} \bruch{1}{n^k} \le \bruch{1}{k!} [/mm] gilt. |
Naja ich wollte das halt mit induktion machen. also
Induktionsanfang:
n=1
[mm] \vektor{1\\k} \bruch{1}{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k!}*\bruch{1}{(1-k)!} \le \bruch{1}{k!} [/mm]
(mit n=0 geht das ja irgendwie nicht oder?)
induktionsvoraussetzung:
sei [mm] \vektor{n \\ k} \bruch{1}{n^k} \le \bruch{1}{k!} [/mm] für alle k,n [mm] \in \IN [/mm]
induktionsschritt
ja da hab ich jetzt probleme:
[mm] \vektor{n+1 \\ k} \bruch{1}{(n+1)^k}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1)!}{(n+1-k)!*k!*(n+1)^k}
[/mm]
wie könnte ich jetzt weiter machen und die induktionsvoraussetzung anwenden?
vielen dank schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Das geht ohne Induktion: benutze die Def. von [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] und rechne nach:
$ [mm] \vektor{n \\ k} \bruch{1}{n^k} \l= \bruch{1}{k!} (1-\bruch{1}{n})*(1-\bruch{2}{n})* [/mm] ...* [mm] (1-\bruch{k-1}{n})$
[/mm]
Das Produkt [mm] $(1-\bruch{1}{n})*(1-\bruch{2}{n})* [/mm] ...* [mm] (1-\bruch{k-1}{n})$ [/mm] ist [mm] \le [/mm] 1, also ....
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Do 05.11.2009 | | Autor: | aly19 |
hey danke für die antwort.
ich sehe leider noch nicht wie du von
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!*k!*n^k} [/mm] auf [mm] \bruch{1}{k!} (1-\bruch{1}{n})\cdot{}(1-\bruch{2}{n})\cdot{} ...\cdot{} (1-\bruch{k-1}{n}) [/mm] $ kommst, kannst du das irgendwie deutlich machen. wäre supr.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \bruch{n!}{(n-k)!} [/mm] $ auschreiben und kürzen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Do 05.11.2009 | | Autor: | aly19 |
also bei mir wird das dann so:
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!}=\bruch{n*(n-1)*(n-1)*(n-3)...}{(n-k)*(n-k-1)*(n-k-2)*(n-k-3)...}=\bruch{(1-1/n)*(1-2/n)*(1-3/n)...}{(1-k/n)(1-(k-1)/n)(1-(k-2)/n)...}
[/mm]
weiter komme ich leider nicht.
wie geht das jetzt mit dem kürze?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\bruch{1}{k!}* \bruch{n!}{(n-k)!}*\bruch{1}{n^k}= \bruch{1}{k!}*\bruch{n(n-1)(n-2)* ...*2*1}{(n-k)(n-k-1)* ...*2*1}*\bruch{1}{n^k}=$
$ \bruch{1}{k!}*\bruch{n(n-1)(n-2)* ...*(n-(k-1))}{n*n* ...*n}}= \bruch{1}{k!}(1-\bruch{1}{n})*(1-\bruch{2}{n})* ...*(1-\bruch{k-1}{n})$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Do 05.11.2009 | | Autor: | aly19 |
super dankeeeeee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> super dankeeeeee
abeeer bitteeeeeeeeeeeee
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