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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Minewere |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] j(j+2) = [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+7)}{6} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 0 |
Würde mich freuen wenn mir jemand bestätigen könnte ob mein Rechenweg richtig ist da ich heut bei jmd gesehen habe, dass er am Ende etwas mit Polynomdivision gemacht hat...
Induktionsbeginn:
n=1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1*(1+2) = 3 = [mm] \bruch{1*(1+1)*(2*1+7)}{6} [/mm] = 3
[mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+7)}{6} [/mm] = [mm] \bruch{2*n^{3}+15*n^{2}+31*n+18}{6}
[/mm]
Induktionsschritt:
[mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] = [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+7)}{6} [/mm] + (n+1)*(n+3)
[mm] \gdw \bruch{n*(n+1)*(2*n+7) + 6*(n+1)*(n+3)}{6}
[/mm]
und das ausgerechnet ergibt den Ausgangsterm ausgerechnet..
[mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+7)}{6} [/mm] = [mm] \bruch{2*n^{3}+15*n^{2}+31*n+18}{6}
[/mm]
Wäre die Aussage somit bewiesen oder liege ich irgendwo falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Minewere,
das sieht noch ein bisschen chaotisch aus und ist schlecht bis gar nicht nachzuvollziehen.
> Zeigen Sie:
>
> [mm]\summe_{j=1}^{n}[/mm] j(j+2) = [mm]\bruch{n*(n+1)*(2n+7)}{6}[/mm] für n
> [mm]\ge[/mm] 0
> Würde mich freuen wenn mir jemand bestätigen könnte ob
> mein Rechenweg richtig ist da ich heut bei jmd gesehen
> habe, dass er am Ende etwas mit Polynomdivision gemacht
> hat...
Aha. Das scheint mir aber nicht nötig zu sein, wenn überhaupt sinnvoll.
> Induktionsbeginn:
>
> n=1 [mm]\Rightarrow[/mm] 1*(1+2) = 3 = [mm]\bruch{1*(1+1)*(2*1+7)}{6}[/mm] =
> 3
>
> [mm]\bruch{n*(n+1)*(2n+7)}{6}[/mm] =
> [mm]\bruch{2*n^{3}+15*n^{2}+31*n+18}{6}[/mm]
Diese Zeile gehört hier aber sicher noch nicht hin. Hast du sie versehentlich hierher kopiert?
> Induktionsschritt:
>
> [mm]\summe_{j=1}^{n}[/mm] = [mm]\bruch{n*(n+1)*(2n+7)}{6}[/mm] + (n+1)*(n+3)
>
> [mm]\gdw \bruch{n*(n+1)*(2*n+7) + 6*(n+1)*(n+3)}{6}[/mm]
>
> und das ausgerechnet ergibt den Ausgangsterm
> ausgerechnet..
Das sollst Du doch gerade zeigen, und dazu sind auch ein paar Zwischenschritte zu präsentieren. Der Induktionsschritt ist erst dann gelungen, wenn Du folgendes gezeigt hast:
[mm] \summe_{j=1}^{n\red{+1}}j(j+2)=\bruch{(n\red{+1})((n\red{+1}+1)*(2*(n\red{+1})+7)}{6}=(n+1)(n+3)+\bruch{n*(n+1)*(2*n+7)}{6}=(n+1)(n+3)+\summe_{j=1}^{n}j(j+2)
[/mm]
> [mm]\bruch{n*(n+1)*(2n+7)}{6}[/mm] =
> [mm]\bruch{2*n^{3}+15*n^{2}+31*n+18}{6}[/mm]
>
> Wäre die Aussage somit bewiesen oder liege ich irgendwo
> falsch?
Ich kann nicht erkennen, was Du da gezeigt hast oder haben willst.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Minewere |
Ok ich versuchs nochmal:
Induktionsschritt:
[mm] \summe_{j=1}^{n+1} [/mm] j(j+2) = [mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] j(j+2) + (n+1)*((n+1)+2)
= [mm] \bruch{n\cdot{}(n+1)\cdot{}(2n+7)}{6} [/mm] + (n+1)*(n+3)
= [mm] \bruch{n\cdot{}(n+1)\cdot{}(2\cdot{}n+7) + 6\cdot{}(n+1)\cdot{}(n+3)}{6}
[/mm]
= [mm] \bruch{2\cdot{}n^{3}+15\cdot{}n^{2}+31\cdot{}n+18}{6}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{j=1}^{n+1} [/mm] j(j+2) = [mm] \bruch{(n+1)*((n+1)+1)*(2*(n+1)+7)}{6} [/mm]
= [mm] \bruch{2\cdot{}n^{3}+15\cdot{}n^{2}+31\cdot{}n+18}{6} [/mm]
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Hallo Minewere,
ja, so geht es, auch wenn man ja immer noch "selbst gucken" muss, ob das obere und das untere Ergebnis übereinstimmen. Schöner ist es, wenn das ganze eine Gleichungskette bildet, aber die kannst Du ja jetzt leicht selber aufstellen. Alles nötige Material ist ja vorhanden.
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Minewere |
Dankeschön :>
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