Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass ein [mm] $N_0 \in\IN$ [/mm] existier, so dass für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt [mm] $n^4 [/mm] < [mm] 3^n$. [/mm] |
Hallo,
bin neu hier und versuche mal mein Glück.
Ist wohl ne recht einfach Induktionsaufgabe, aber irgendwo hängt es bei mir.
Zunächst wähle ich als [mm] $n_0=8$ [/mm] (ich soll ja nur zeigen das eines existiert und nicht woher ich es bekomme).
Nun IA.: [mm] $8^4=4096<3^8=6561$
[/mm]
Nun ganz Stumpf der Induktionsschritt:
[mm] $(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1<(mit [/mm] IV) < [mm] 3^n+4n^3+6n^2+4n+1< [/mm] ... [mm] <3^n*3=3^{n+1}$
[/mm]
Wo ich hin muss ist klar und es muss wohl über weitere Abschätzungen laufen, nur habe ich keine Idee wie ich aus der Summe [mm] $(4n^3+6n^2+4n+1)$ [/mm] dann den Fakto 3 bekomme. Vielleicht hat ja jemand einen Tipp für mich, wäre cool.
Peter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hmm ja, an der Aufgabe durfte ich auch rumbasteln.^^
Ich würde dir raten es mal mit ein paar Wurzeln zu versuchen und dann zeigen, dass die linke Seite langsamer wächst als die rechte.
Wenn du noch keine Ableitungen benutzen darfst dann rechne die Steigung halt fein von Hand. ;)
lg
Schadow
PS: Natürlich könnte es auch mit Induktion gehen, wer weiß, aber so wie oben gehts auch.^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Mi 26.10.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass ein [mm]N_0 \in\IN[/mm] existier, so dass für alle
> [mm]n \ge n_0[/mm] gilt [mm]n^4 < 3^n[/mm].
>
>
>
> Hallo,
> bin neu hier und versuche mal mein Glück.
> Ist wohl ne recht einfach Induktionsaufgabe, aber irgendwo
> hängt es bei mir.
> Zunächst wähle ich als [mm]n_0=8[/mm] (ich soll ja nur zeigen das
> eines existiert und nicht woher ich es bekomme).
> Nun IA.: [mm]8^4=4096<3^8=6561[/mm]
> Nun ganz Stumpf der Induktionsschritt:
> [mm](n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1<(mit IV) < 3^n+4n^3+6n^2+4n+1< ... <3^n*3=3^{n+1}[/mm]
habe das folgende nicht weitergedacht, nur so eine Idee:
[mm]3^n+4n^3+6n^2+4n+1< ... <3^n*3=3^{n+1}[/mm]
[mm]3^n+3^n+3^n=3*3^n=3^{n+1}[/mm][mm][/mm] - aber da verrate ich dir nichts neues ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Ich würde versuchen, [mm]4*n^3[/mm] durch [mm]3^n[/mm] und [mm]6n^2+4n+1[/mm] durch [mm]3^n[/mm] abzuschätzen für [mm]n\ge{8}[/mm].
Es ist z.B. [mm]4*n^3\le{n*n^3}=n^4<3^n[/mm] für [mm]n\ge{8}[/mm] nach I.V. gilt letzte Relation.
> Wo ich hin muss ist klar und es muss wohl über weitere
> Abschätzungen laufen, nur habe ich keine Idee wie ich aus
> der Summe [mm](4n^3+6n^2+4n+1)[/mm] dann den Fakto 3 bekomme.
> Vielleicht hat ja jemand einen Tipp für mich, wäre cool.
> Peter
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Vielleicht hilft's.
Viel Erfolg.
Gruß
barsch
|
|
|
|
