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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Di 06.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | | Für alle $ k,n [mm] \in \IN_{0} [/mm] $ mit $ [mm] k\le [/mm] n $ gilt: $ [mm] \bruch{n!}{(n-k)!} \le n^k [/mm] $ |
Dies möchte ich beweisen. Die erste Frage ergibt sich schon beim Induktionsanfang. Es handelt sich ja hier um zwei Variablen. Ich nehme einmal an, dass ich es für n=0 und k=0 beweisen soll?
IA: $ [mm] \bruch{0!}{(0-0)!} \le 0^0 [/mm] $
[mm] 0^0 [/mm] ist aber nicht definiert, soweit ich weiß.
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Hallo yangwar1,
> Für alle [mm]k,n \in \IN_{0}[/mm] mit [mm]k\le n[/mm] gilt:
> [mm]\bruch{n!}{(n-k)!} \le n^k[/mm]
Einfacher geht es, wenn Du kürzt
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots(n-k+1)\leq n^k,
[/mm]
so ist die Behauptung offensichtlich.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Do 08.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Und wie gehe ich dann beim Beweis vor?
Setze ich n=0 und k=0? Dann würde aber auf der rechten Seite $ [mm] 0^0 [/mm] $ stehen, was nicht definiert ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Do 08.12.2011 | | Autor: | Blech |
Laß halt n bei 1 anfangen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Do 08.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Es steht doch aber in der Behauptung, dass es für alle n,k aus den natürlichen Zahlen mit der 0 gelten soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Do 08.12.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo yangwar!
Dann klappt es halt nur, wenn man z.B. definiert: [mm] $0^0 [/mm] \ := \ 1$ .
Gruß
Loddar
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Also dann setze ich für den Induktionsanfang
n=0 und k=0.
$ [mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)*\cdots*1}{(n-k)*(n-k-1)*\cdots*(1)} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(n-k)!} [/mm] $
IA: n= 0 und k=0
$ 0 [mm] \le 0^0 [/mm] $
Induktionsanfang gilt.
IV: Es gelte [die Ungleichung] für alle n,k aus den natürlichen Zahlen und n>k.
IS: (Nun, hier hängt es dann wieder.) n->n+1
$ [mm] (n+1)((n+1)-1)\cdots(n-k+1)\leq n^k \gdw (n+1)((n)\cdots(n-k+1)\le n^k \gdw (n+1)*\bruch{n!}{(n-k)!} \le (n+1)*n^k [/mm] $
Was ist genau zu zeigen? Muss auf der rechten Seite am Ende das hier stehen: $ [mm] (n+1)^{k+1} [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 10.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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