Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 So 01.07.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | Beweisen Sie für natürliche Zahlen n [mm] \ge [/mm] 2 und für reelle Zahlen [mm] x_{j} \in [/mm] (0,1) die Ungleichung
(1 - [mm] x_{1}) [/mm] (1 - [mm] x_{2}) [/mm] ... (1 - [mm] x_{n}) [/mm] > 1 - [mm] (x_{1} [/mm] + ... + [mm] x_{n}). [/mm] |
Das schreit ja nach einem Induktionsbweis.
Mein Problem ist nur, dass ich noch nie einen solchen Induktionsbeweis geführt habe. Ich wüsste z.B. nicht einmal was mein Induktionsanfang ist ...
Die bisher von mir geführten Induktionsbeweise waren meiner Meinung nach immer leichtet ...
Bin für eine Starthilfe sehr dankbar, weil ich gerade irgendwie gar nicht durchblicke ...
Sollte ich die Ungleichung irgendwie umschreiben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 So 01.07.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Beweisen Sie für natürliche Zahlen n [mm]\ge[/mm] 2 und für
> reelle Zahlen [mm]x_{j} \in[/mm] (0,1) die Ungleichung
> (1 - [mm]x_{1})[/mm] (1 - [mm]x_{2})[/mm] ... (1 - [mm]x_{n})[/mm] > 1 - [mm](x_{1}[/mm] + ...
> + [mm]x_{n}).[/mm]
> Das schreit ja nach einem Induktionsbweis.
> Mein Problem ist nur, dass ich noch nie einen solchen
> Induktionsbeweis geführt habe. Ich wüsste z.B. nicht
> einmal was mein Induktionsanfang ist ...
> Die bisher von mir geführten Induktionsbeweise waren
> meiner Meinung nach immer leichtet ...
Induktionsanfang: n=2
[mm] (1-x_1)*(1-x_2)=1-x_1-x_2+x_1*x_2>1-x_1-x_2 [/mm] weil [mm] x_1>0 [/mm] und [mm] x_2>0 [/mm] gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 So 01.07.2012 | | Autor: | Anazeug |
Ah, okay. Somit ist der I.A klar.
Induktionsschritt wäre jetzt n [mm] \mapsto [/mm] n +1
(1 - [mm] x_{1}) [/mm] (1 - [mm] x_{2}) [/mm] ... (1 - [mm] x_{n}) [/mm] (1 - [mm] x_{n+1}) [/mm] > 1 - [mm] (x_{1} [/mm] + ... + [mm] x_{n} [/mm] + [mm] x_{n+1}).
[/mm]
Kann man sagen, dass
(1 - [mm] x_{1}) [/mm] (1 - [mm] x_{2}) [/mm] ... (1 - [mm] x_{n}) [/mm] (1 - [mm] x_{n+1}) [/mm] = 1 - [mm] x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n} [/mm] - ... - [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{1} [/mm] + [mm] (x_{n+1} x_{n} [/mm] ... [mm] x_{2} x_{1}) [/mm] = 1 - [mm] (x_{n+1} [/mm] + [mm] x_{n} [/mm] + ... + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{1}) [/mm] + [mm] (x_{n+1} x_{n} [/mm] ... [mm] x_{2} x_{1})
[/mm]
Also:
1 - [mm] (x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + ... + [mm] x_{n} [/mm] + [mm] x_{n+1}) [/mm] + [mm] (x_{n+1} x_{n} [/mm] ... [mm] x_{2} x_{1}) [/mm] > 1 - [mm] (x_{1} [/mm] + ... + [mm] x_{n} [/mm] + [mm] x_{n+1})
[/mm]
Und dann genauso argumentieren wie beim Induktionsanfang?
Also da [mm] x_{1};x_{2};...;x_{n}; x_{n+1} [/mm] > 0 gilt die Ungleichung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 So 01.07.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1-x_i)=\produkt_{i=1}^{n}(1-x_i)*\left(1-x_{n+1}\right)>\left(1-\summe_{i=1}^{n}x_i\right)*\left(1-x_{n+1}\right)
[/mm]
Das ausmultiplizieren und [mm] x_i>0 [/mm] verwenden.
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