Induktionsbeweis Teilbarkeit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mo 07.04.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
Für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] ist [mm] $6^{n+2}+7^{2n+1}$ [/mm] durch $43$ teilbar. |
Hallo zusammen,
komme irgendwie bei dem Induktionsschritt nicht weiter (der Induktionsbeginn ist simpel). Habe schon versucht I(n+1) zu betrachten, falls I(n) gilt, aber ich komme beim Umformen von [mm] $6^{n+3}+7^{2n+2}$ [/mm] nicht wirklich weiter.
Vielen Dank für Eure Hinweise!
Gregor
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Hallo grenife,
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
> Für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] ist [mm]6^{n+2}+7^{2n+1}[/mm] durch [mm]43[/mm]
> teilbar.
> Hallo zusammen,
>
> komme irgendwie bei dem Induktionsschritt nicht weiter (der
> Induktionsbeginn ist simpel). Habe schon versucht I(n+1) zu
> betrachten, falls I(n) gilt, aber ich komme beim Umformen
> von [mm]6^{n+3}+7^{2n+2}[/mm] nicht wirklich weiter.
Schreibe den Ausdruck so:
[mm]6^{n+3}+7^{2n+3}=a*6^{n+2}+b*7^{2n+1}[/mm]
> Vielen Dank für Eure Hinweise!
> Gregor
Gruß
MathePower
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Hallo,
habe die Aufgabe beim Scrollen gesehen. Die Umformung ist mir klar, aber welche Teilbarkeitsregel würdest du dann anwenden?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Mo 14.04.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> habe die Aufgabe beim Scrollen gesehen.
Ich auch.
> Die Umformung ist
> mir klar, aber welche Teilbarkeitsregel würdest du dann
> anwenden?
Mir fallen auf jeden Fall schlagartig die beiden Gleichungen
[mm] 6^{2} \equiv [/mm] -7 mod 43 und
[mm] 7^{2} \equiv [/mm] 6 mod 43
ein, das muß einfach etwas zu bedeuten haben.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Mo 14.04.2008 | | Autor: | steffenhst |
Hallo,
ich vermute dann mal so:
[mm] 6^{n+3} [/mm] + [mm] 7^{2n+3} [/mm] = [mm] 6*6^{n+2} [/mm] + [mm] 7^{2}*7^{2n+1}
[/mm]
= [mm] (7^{2}-43)*6^{n+2} [/mm] + [mm] 7^{2}*7^{2n+1}
[/mm]
= [mm] 7^{2}*6^{n+2} [/mm] - [mm] 43*6^{n+2} [/mm] + [mm] 7^{2}*7^{2n+1}
[/mm]
= [mm] 7^{2}*(6^{n+2} [/mm] + [mm] 7^{2n+1}) [/mm] - [mm] 43*6^{n+2}
[/mm]
da [mm] 43|(6^{n+2} [/mm] + [mm] 7^{2n+1}) [/mm] und [mm] 43|43*6^{n+2} [/mm] folgt die BH.
Wieder was gelernt.
Grüße, Steffen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Mo 14.04.2008 | | Autor: | grenife |
Hi,
hab die Lösung mittlerweile gefunden. Es geht auch so:
[mm] $6^{n+3} [/mm] + [mm] 7^{2n+3}=6\cdot 6^{n+2} [/mm] + [mm] 7^2\cdot 7^{2n+1}= 6(6^{n+2} [/mm] + [mm] 7^{2n+1})+43 \cdot 7^{2n+1}$ [/mm] und dann ist mit der Induktionsvoraussetzung der erste Summand durch 43 teilbar, der zweite als Vielfaches von 43 ebenso.
Viele Grüße
Gregor
> Hallo,
>
> ich vermute dann mal so:
>
> [mm]6^{n+3}[/mm] + [mm]7^{2n+3}[/mm] = [mm]6*6^{n+2}[/mm] + [mm]7^{2}*7^{2n+1}[/mm]
> = [mm](7^{2}-43)*6^{n+2}[/mm] + [mm]7^{2}*7^{2n+1}[/mm]
> = [mm]7^{2}*6^{n+2}[/mm] - [mm]43*6^{n+2}[/mm] + [mm]7^{2}*7^{2n+1}[/mm]
> = [mm]7^{2}*(6^{n+2}[/mm] + [mm]7^{2n+1})[/mm] - [mm]43*6^{n+2}[/mm]
>
> da [mm]43|(6^{n+2}[/mm] + [mm]7^{2n+1})[/mm] und [mm]43|43*6^{n+2}[/mm] folgt die
> BH.
>
> Wieder was gelernt.
> Grüße, Steffen
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