Induktionsbeweis Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Mo 21.11.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich bräuchte Hilfe bei den Induktionsbeweisen mit einer Ungleichung.Ich verstehe nicht wie man das gut abschätzt.
Ich habe zb dieses Bsp : [mm] 3^n [/mm] ≤ 4n!
Induktionsanfang is klar
Dann kommt der Schritt [mm] 3^{n+1}≤4(n+1)!
[/mm]
[mm] 3^n*3 [/mm] ≤ 4(n+1)! und wie soll ich nun weiter machen?
Danke schon mal im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 Mo 21.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm]3^{n+1}=3^{1}\cdot3^{n}\stackrel{I.V}{\leq}3\cdot4n!\ldots[/mm]
Alternativ kannst du auch "hinten beginnen"
Also:
[mm]4(n+1)!=4((n+1)\cdot n!)=(n+1)\cdot4n!\stackrel{I.V}{\geq}(n+1)\cdot3^{n}\ldots[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Mo 21.11.2011 | | Autor: | racy90 |
Wie kommst du darauf [mm] 3*3^n\stackrel{I.V}{\leq}3\cdot4n!\ldots [/mm] $?
Wenn ich 4(n+1)! auflöse steht doch nicht 3*4n! dort??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wie kommst du darauf
> [mm]3*3^n\stackrel{I.V}{\leq}3\cdot4n!\ldots[/mm] $?
Nach I.V. ist doch [mm] $3^n \le [/mm] 4*n!$.
Multiplizieren wir diese Ungl. mit 3 , so bekommen wir:
(*) [mm] $3^{n+1} \le [/mm] 3*4*n!$.
>
> Wenn ich 4(n+1)! auflöse steht doch nicht 3*4n! dort??
Das hat auch kein Mensch behauptet.
Ist Dir eigentlich klar, dass die Ungl. [mm] $3^n \le [/mm] 4*n!$ für n=1 richtig ist, für n=2 und n=3 aber nicht ?
Für n=4 stimmt sie wieder.
Also: Behauptung: [mm] $3^n \le [/mm] 4*n!$ für n [mm] \ge [/mm] 4.
Mach also den Induktionsanfang für n=4.
I.V: es sei n [mm] \in \IN [/mm] und n [mm] \ge [/mm] 4 und [mm] $3^n \le [/mm] 4*n!$.
Daraus und aus (*) bekommen wir:
[mm] $3^{n+1} \le [/mm] 3*4*n! [mm] \le [/mm] (n+1)*4*n!=4*(n+1)!$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Mo 21.11.2011 | | Autor: | racy90 |
ich glaube jetzt habe ich es verstanden
danke
Eine Frage hätte ich noch.Es steht noch ein Unterpunkt:Geben sie ein satz/Kriterium an ,mit welchen aus den obigen Punkt und aus [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{3^n}=3/2 [/mm] die Konvergenz von [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{4n!} [/mm] folgt
Kennen sollte ich Quotientenkriterium,Wurzelkrit,Majo/Minorantenkrit und Leibnizkrit.
Oder ist bei der Fragestellung etwas anderes gemeint?
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> Eine Frage hätte ich noch.Es steht noch ein
> Unterpunkt:Geben sie ein satz/Kriterium an ,mit welchen aus
> den obigen Punkt und aus [mm]\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{3^n}=3/2[/mm]
> die Konvergenz von [mm]\summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{4n!}[/mm] folgt
Hallo,
Du hast nun gezeigt, daß für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt
[mm] 3^n\le [/mm] 4n! <==> [mm] \bruch{1}{3^n}\ge \bruch{1}{4n!}.
[/mm]
Nun überleg mal, welches der von Dir angeführten Kriterien hier brauchbar sein könnte...
Gruß v. Angela
>
> Kennen sollte ich
> Quotientenkriterium,Wurzelkrit,Majo/Minorantenkrit und
> Leibnizkrit.
>
> Oder ist bei der Fragestellung etwas anderes gemeint?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Mo 21.11.2011 | | Autor: | racy90 |
ich würde am ehesten auf das Quotientenkrit tippen.Aber das ist eher nur Bauchgefühl wegen dem Fakultätszeichen ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Mo 21.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ich würde am ehesten auf das Quotientenkrit tippen.
> Aber das ist eher nur Bauchgefühl wegen dem Fakultätszeichen
> ;)
Wie kommt man von der Fakultät auf Brüche? Dein Bauch hat interessante Empfindungen.
Nochmal das, was Angela geschrieben hat, etwas deutlicher formuliert:
Du hast gezeigt:
$ [mm] 3^n\le4n!\Leftrightarrow\bruch{1}{3^n}\ge \bruch{1}{4n!}$
[/mm]
Was ist denn dann der Bruch [mm] \frac{1}{3^{n}} [/mm] zum Bruch [mm] \frac{1}{4n!} [/mm] ?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mo 21.11.2011 | | Autor: | racy90 |
mhhm okay.
Naja dann wohl eher kovergente Majorante
Hoffe das stimmt nun.
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Hallo racy90,
> mhhm okay.
>
> Naja dann wohl eher kovergente Majorante
Na klar!
>
> Hoffe das stimmt nun.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Mo 21.11.2011 | | Autor: | racy90 |
Super dankeschön :)
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