Induktionsbeweis in Ungleichun < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | i) Zeigen sie:
[mm] $(1+\bruch{1}{n})^n \ge [/mm] 2$ für alle [mm] $n\in \IN \setminus {\emptyset}$
[/mm]
ii) Beweisen sie:
$n! [mm] \le (\bruch{n+1}{2})^n$ [/mm] für alle [mm] $n\in \IN \setminus {\emptyset}$ [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Beides soll durch Induktion gezeigt werden. Ich komme recht weit, hänge dann aber immer an der Abschätzung (habe aber auch wenig Erfahrung mit Ungleichungen und Induktion...) Kann mir bitte jemand diese beiden Ungleichungen induzieren?
Dann könnte ich das einmal komplett nachvollziehen.
zu i) ist mein Ansatz:
Induktions Anfang: $n=1$
[mm] $(1+\bruch{1}{n})^n \ge [/mm] 2$
[mm] $\gdw (1+\bruch{1}{1})^1 \ge [/mm] 2$
[mm] $\gdw [/mm] 2 [mm] \ge [/mm] 2$
Stimmt.
Induktionsschritt $n+1$
[mm] $(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} \ge [/mm] 2$
[mm] $\gdw (1+\bruch{1}{n+1})^n \* (1+\bruch{1}{n+1}) \ge [/mm] 2 $
[mm] $\gdw (\bruch{n+1}{n+1}+\bruch{1}{n+1})^n \* (\bruch{n+1}{n+1}+\bruch{1}{n+1}) \ge [/mm] 2 $
[mm] $\gdw (\bruch{n+2}{n+1})^n \* (\bruch{n+2}{n+1}) \ge [/mm] 2 $
so, und hier hakts. Ich weiß nicht weiter... Muss ich dann abschätzen? Habe ich mich in eine falsche Richtung verrannt?
zu ii)
Induktionsanfang $n=1$
$1! [mm] \le (\bruch{1+1}{2})^1$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 1 [mm] \le [/mm] 1$
Stimmt!
Induktionsschritt $n+1$
$(n+1)! [mm] \le (\bruch{(n+1)+1}{2})^{n+1}$
[/mm]
$n! * (n+1) [mm] \le (\bruch{n+2}{2})^n [/mm] * [mm] (\bruch{n+2}{2})$
[/mm]
Tja und hier wieder... wie weiter?
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> Zeigen sie:
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> [mm](1+\bruch{1}{n})^n \ge[/mm] 2 für alle [mm]n\in \IN \setminus {\emptyset}[/mm]
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> Beweisen sie:
>
> n! [mm]\le (\bruch{n+1}{2})^n[/mm] für alle [mm]n\in \IN \setminus {\emptyset}[/mm]
>
> Beides soll durch Induktion gezeigt werden. Ich komme recht
> weit, hänge dann aber immer an der Abschätzung (habe aber
> auch wenig Erfahrung mit Ungleichungen und Induktion...)
> Kann mir bitte jemand diese beiden Ungleichungen
> induzieren?
Hallo,
das läuft bei uns etwas anders...
Du bist recht neu bei uns, lies Dir daher einmal die Forenregeln durch mit besonderem Augenmerk auf dem Passus über eigene Lösungsansätze.
Ich schlage Dir vor, daß Du hier mal vorrechnest, was Du jeweils getan hast.
Dann kann man schauen, ob Du gravierende Fehler machst, oder ob nur ein kleiner Kick bei Umformungen oder Abschätzungen fehlt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:01 So 11.11.2007 | | Autor: | Physiker |
oki, dann TeXe ich meine Lösungsansätze gleich mal ein. Bis später.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Di 13.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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