Induktionsbeweis mit Folge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien [mm] a_{0} = 0, a_{1} = 1 [/mm] und [mm]a_{n} = \bruch {a_{n-1} + a_{n-2}}{2} [/mm] fuer alle [mm] n \ge 2 [/mm]
Beweisen sie mit Induktion nach n, dass [mm] a_{n+1} - a_{n} = \bruch {{-1}^n}{{2}^n} [/mm] ist. Benutzen sie dieses Ergebnis um zu zeigen, dass [mm] a_{n} [/mm] eine Cauchyfolge ist. |
Hallo alle zusammen. Ich haenge da grad am Induktionsbeweis, ich hab sogar einen Loesungsvorschlag dafuer zur Hand, weiss an einer Stelle aber nicht wie die auf ein Zwischenergebnis kommen. Deswegen wollte ich mal nachfragen ob einer von euch das sieht.
Der Induktionsanfang ist mir ja soweit klar, deswegen gleich zum Schritt:
Laut Loesungsbuch: [mm] a_{n+2} - a_{n+1} = \bruch {a_{n+1} + a_{n} - 2*a_{n+1}}{2} [/mm]
Ich versteh nicht wie die da draufkommen! Wenn ich ganz normal [mm] a_{n+2} - a_{n+1} [/mm] rechne, komm ich auf:
[mm] a_{n+2} = \bruch {a_{n+1} + a_{n}}{2} [/mm] und auf
[mm] a_{n+1} = \bruch {a_{n} + a_{n-1}}{2} [/mm] also auf
[mm] a_{n+2} - a_{n+1} = \bruch {a_{n+1} + a_{n} - a_{n} - a_{n-1}}{2} = \bruch {a_{n+1} + a_{n-1}}{2} [/mm]
Was mach ich falsch? bzw was muss ich umformen, um auf das Zwischenergebnis des Loesungsbuches zu kommen?
Es geht hier momentan gar nicht um die "ganze" Aufgabe sondern nur m diesen kleinen Schritt, waere toll wenn mir jemand sagen koennte wie die da draufkommen. Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Di 19.03.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo DepressiverRoboter!
> Laut Loesungsbuch: [mm]a_{n+2} - a_{n+1} = \bruch {a_{n+1} + a_{n} - 2*a_{n+1}}{2}[/mm]
Hier kommt man hin, wenn man setzt: [mm]\blue{a_{n+2}}-\green{a_{n+1}} \ = \ \blue{\bruch{a_{n+1}+a_n}{2}}-\green{a_{n+1}} \ = \ ...[/mm]
Und nun auf einem Bruchstrich zusammenfassen.
> Ich versteh nicht wie die da draufkommen! Wenn ich ganz
> normal [mm]a_{n+2} - a_{n+1} [/mm] rechne, komm ich auf:
> [mm]a_{n+2} - a_{n+1} = \bruch {a_{n+1} + a_{n} - a_{n} - a_{n-1}}{2} = \bruch {a_{n+1} + a_{n-1}}{2}[/mm]
Hier muss es ganz am Ende [mm]... \ = \ \bruch{a_{n+1} \ \red{-} \ a_{n-1}}{2}[/mm] lauten, dann passt es auch mit der Musterlösung zusammen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Ahh vielen Dank Loddar, haett ich auch selber draufkommen koennen den Teil [mm] a_{n+1} [/mm] nicht weiter aufzusplitten.
So macht das ganze natuerlich Sinn.
Was den Vorzeichenfehler angeht: da hab ich beim Stellen der Frage falsch abgetippt... ;)
vielen Dank fuer die rasche Antwort! Die Frage ist damit geklaert
|
|
|
|
