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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Sa 01.12.2012 | | Autor: | tmili |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
a) für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] (1+1/n)^n [/mm] < (1+1/(n+1))^(n+1)
b) für alle n [mm] \in \IN [/mm] \ [mm] \{1\} [/mm] gilt: [mm] (1+1/(n-1))^n [/mm] > (1+1/n)^(n+1) |
Hallo, ich bin im ersten Semster Analysis und das ist die erste Aufgabe bei der ich selbst nicht mehr weiterkomme und bin dementsprechend verzweifelt :(
ich denke wenn man a) gelöst hat wird b) den gleichen trick in sich haben, also habe ich mir bis jetzt nur a) angeschaut, aber komme auf keinen grünen zweig..
habe mir beispiele mit n=1,2,3 gemacht und sehe das es funktioniert, aber natürlich nicht sicher ob es bei n=1000 auch noch geht..
nun dachte ich an induktion, aber komme hier nie über den induktionsanfang hinaus..dieser funktioniert ganz eindeutig da 2<2,25, die voraussetzung ist dann ja die aufgabenstellung für alle n, aber wenn ich jetzt den induktionsschritt von n nach n+1 machen will komm ich ja nie dazu die voraussetzung zu verwenden..ich wäre euch unendlich dankbar, wenn mir jemand einen ansatz schicken würde! danke im voraus!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Sa 01.12.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n\le \left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1} \gdw
[/mm]
[mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^{-1}\le \left(\bruch{1+\bruch{1}{n+1}}{1+\bruch{1}{n}}\right)^{n+1} [/mm] wegen
[mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^{-1}=1-\bruch{1}{n+1} [/mm] und
[mm] \bruch{1+\bruch{1}{n+1}}{1+\bruch{1}{n}}=1-\bruch{1}{(n+1)^2}
[/mm]
folgt die Behauptung aus der Bernoullischen Ungleichung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Sa 01.12.2012 | | Autor: | tmili |
Hallo ullim:)
Vielen Dank für deine schnelle Hilfe!! Habe nach kurzer Zeit alles nachvollziehen können, leider wäre ich glaube ich nie selbst auf sowas gekommen :( Ich versuche mich gleich an b)
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Sa 01.12.2012 | | Autor: | tmili |
hallo ullim,
das ist mir jetzt echt unangenehm, aber ich sitze wie mit einem brett vor dem kopf vor b)..das ist das problem mit dem selber draufkommen..ich weiß einfach nicht wo ich mit umformen anfangen soll, damit ich am schluss ne schöne form bekomm um die bernoullische ungleichung anzuwenden :( weißt du zum beispiel einfach, dass [mm] (1+\bruch{1}{n})^-1 [/mm] = [mm] 1-\bruch{1}{n+1} [/mm] gibt oder musst du das auch ausrechnen und merkst dann das es stimmt?
Vielen Dank schonmal wenn du dich mir nochmal annimmst!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 So 02.12.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}<\left(1+\bruch{1}{n-1}\right)^n \gdw
[/mm]
[mm] 1+\bruch{1}{n}<\left(\bruch{1+\bruch{1}{n-1}}{1+\bruch{1}{n}}\right)^n=\left(\bruch{n^2}{n^2-1}\right)^n=\left(1+\bruch{1}{n^2-1}\right)^n
[/mm]
Und jetzt weiter mit der Bernoullischen Ungleichung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 So 02.12.2012 | | Autor: | tmili |
guten morgen :)
erste umformung ist mir wieder klar..und da die bernoulli ungleichung ja 1+nx < [mm] (1+x)^n [/mm] ist muss ja in diesem fall x:= [mm] \bruch {1}{n^2-1} [/mm] und n:=n.
damit muss ja jetzt aber [mm] 1+nx=1+n*\bruch{1}{n^2-1} [/mm] und das wiederum sollte ja das gleiche sein wie 1+ [mm] \bruch{1}{n}...das [/mm] stimmt ja aber nicht -> also durch einsetzen verschiedener n ist das ja deutlich :( steh ich schon wieder auf dem schlauch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 So 02.12.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] 1+\bruch{n}{n^2-1}> 1+\bruch{n}{n^2}=1+\bruch{1}{n}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 So 02.12.2012 | | Autor: | tmili |
Vielen Dank und einen schönen Sonntag!!
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