Induktionsbeweise Summe < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Mo 30.03.2009 | | Autor: | yul |
| Aufgabe | Beweise per vollständiger Induktion: für alle n>=1 und alle m [mm] \in \IZ [/mm] gilt:
[mm] \summe_{i=0}^{n}(-1)^{i}\vektor{n \\i}\produkt_{k=m+1}^{m+n-1}(i+k) [/mm] = 0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also der erste Induktionsschritt ist schon getan. Jetzt folgt n -> n+1
Ich habe dies hier draus gemacht:
= [mm] \summe_{i=0}^{n}(-1)^{i}(\vektor{n-1 \\i-1}\produkt_{k=m+1}^{m+n-1}(i+k) +\vektor{n-1 \\i}\produkt_{k=m+1}^{m+n-1}(i+k) [/mm] )
Darus ergibt sich durch einsetzen von n+1:
[mm] \summe_{i=0}^{n+1}(-1)^{i}(\vektor{n \\i-1}\produkt_{k=m+1}^{m+n}(i+k) +\vektor{n \\i}\produkt_{k=m+1}^{m+n}(i+k) [/mm] )
[mm] =\summe_{i=0}^{n+1}(-1)^{i}\vektor{n+1 \\i}\produkt_{k=m+1}^{m+n}(i+k).
[/mm]
Das kanns ja noch nicht gewesen sein. Was fehlt da? Vielen Dank und freundliche Grüße!
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Hiho,
> Das kanns ja noch nicht gewesen sein. Was fehlt da? Vielen
> Dank und freundliche Grüße!
Ganz einfach, da fehlt der Beweis.......... du sollst doch gerade zeigen, dass
[mm]\summe_{i=0}^{n+1}(-1)^{i}\vektor{n+1 \\i}\produkt_{k=m+1}^{m+n}(i+k) = 0[/mm]
gilt, das hast du nirgends getan.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mi 01.04.2009 | | Autor: | yul |
| Aufgabe | Für alle n [mm] \in \IN, [/mm] n >= 1, und alle m [mm] \in \IZ [/mm] gilt:
= [mm] \summe_{i=0}^{n}(-1)^{i}(\vektor{n \\i}\produkt_{k=m+1}^{m+n-1}(i+k) [/mm] |
Kann mir jemand sagen, ob ich das Produkt
[mm] \produkt_{k=m+1}^{m+n-1}(i+k) [/mm] in dem Beweis vernachlässigen kann ? Ich habe eine Idee, sehe aber überhaupt nicht, wie ich n+1 in das Produkt bekomme. Da das ganze ja aber für alle m gilt, habe ich jetzt die Hoffnung, das es im Beweis unerheblich ist, ob da m+n-1 oder m+n über dem Produktzeichen steht.
Viele Grüße, yul
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Mi 01.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, so einfach kannst dus nicht weglassen. und wo hast du gezeigt, dass es fuer alle m gilt?
wie sieht dein erster Induktionsschritt aus?
Hast du mal die Ind. Behauptung aufgeschrieben?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Do 02.04.2009 | | Autor: | yul |
| Aufgabe 1 | | Aufgabe 2 | Beweise per vollständiger Induktion: für alle n>=1 und alle m [mm] \in \IZ [/mm] gilt:
[mm] \summe_{i=0}^{n}(-1)^{i}\vektor{n \\i}\produkt_{k=m+1}^{m+n-1}(i+k) [/mm] = 0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Also für m muss nichts bewiesen werden, habe nachgefragt. Als Lösungs weg dachte ich an so etwas wie:
[mm] \summe_{i=0}^{n}(-1)^{i}\vektor{n \\i}\produkt_{k=m+1}^{m+n-1}(i+k) [/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{n}(-1)^{i}(\vektor{n-1 \\i-1}\produkt_{k=m+1}^{m+n-1}(i+k) +\vektor{n-1 \\i}\produkt_{k=m+1}^{m+n-1}(i+k) [/mm] )
dann: [mm] \summe_{i=0}^{n}(-1)^{i}(\vektor{n-1 \\i-1}\produkt_{k=m+1}^{m+n-1}(i+k) +\vektor{n-1 \\i}\produkt_{k=m+1}^{m+n-1}(i+k) [/mm] ) + [mm] \summe_{i=0}^{n}(-1)^{i}\vektor{n \\i-1}\produkt_{k=m+1}^{m+n-1}(i+k) [/mm] =
[mm] \summe_{i=0}^{n}(-1)^{i}\vektor{n+1 \\i}\produkt_{k=m+1}^{m+n-1}(i+k) [/mm] = 0
Dann muss ich vorher wohl noch zeigen, das der letzte Summand auch gleich 0 ist.
Ich weißdass das so noch lange nicht stimmt, hab's auch schon über Indexverschiebung im Summenzeiche versucht, aber ich komme nicht drauf, wie sich das im Produkt dann ändern soll. Bitte ein kleiner Hinweis!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Do 02.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib doch wirklich mal hin. was du fuer n+1 beweisen willst.
dann nimm die Ind. Vors und fueg hinzu, was bis n+1 fehlt.
Das ist das vielversprechendste Vorgehen.
Warum du versuchst, die Ind. Vors aufzuteilen versteh ich nicht. Wenn dann solltest du die IndBeh so aufteilen, dass die Indvors vorkommt.
Gruss leduart
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