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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Do 10.11.2005 | | Autor: | Kuebi |
Hallo an alle! 
Wie so oft gerade in der Zeit meines Beginns des Mathestudiums sitz ich hier vor Aufgaben und kann verstehen, was man zeigen soll, soll heißen, der Inhalt ist klar, nur der Weg diese Aussagen zu beweisen tut sich mir nicht auf.
So etwa diese beiden:
Beweisen Sie folgende Variante des Induktionsprinzips für beliebiges k [mm] \in \IZ [/mm] und [mm] \IN_{k}=\{n+k|n\in\IN\}:
[/mm]
Wenn [mm] M\subset\IN_{k}, k\in [/mm] M und [mm] (m\in [/mm] M [mm] \Rightarrow (m+1)\in [/mm] M), dann ist M = [mm] \IN_{k}.
[/mm]
Und die andere:
Zeigen Sie, dass gilt: [mm] \IR [/mm] = [mm] \bigcup_{n\in \IZ}[n,n+1) [/mm] wobei die Intervalle [n,n+1) paarweise disjunkt sind.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich hoffe die Sache wird sich im Laufe der Zeit bessern, so dass ich nicht nur genau verstehe, was man von mir will, sondern auch Beweisansätze finde!
Lg, Kübi
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Hallo Kübi,
> Beweisen Sie folgende Variante des Induktionsprinzips für
> beliebiges k [mm]\in \IZ[/mm] und [mm]\IN_{k}=\{n+k|n\in\IN\}:[/mm]
>
> Wenn [mm]M\subset\IN_{k}, k\in[/mm] M und [mm](m\in[/mm] M [mm]\Rightarrow (m+1)\in[/mm] M),
> dann ist M = [mm]\IN_{k}.[/mm]
Annahme: Es gibt ein m [mm] \in \IZ [/mm] mit m [mm] \ge [/mm] k, dass nicht in M liegt.
Dann gibt es unter diesen m's ein kleinstes, [mm] m_0 [/mm] genannt mit [mm] m_0 [/mm] > k (k liegt ja in M), sodass [mm] m_0-1 [/mm] in M liegen muss. Dann folgt aus der Induktionsvoraussetzung [mm](m_0-1)\in[/mm] M [mm]\Rightarrow m_0\in M[/mm], also ein Widerspruch. Damit liegen alle m [mm] \ge [/mm] k in M und M = [mm] \IN_k
[/mm]
>
> Und die andere:
>
> Zeigen Sie, dass gilt: [mm]\IR[/mm] = [mm]\bigcup_{n\in \IZ}[n,n+1)[/mm]
> wobei die Intervalle [n,n+1) paarweise disjunkt sind.
Also diese Aufgabe finde ich bescheuert!
[mm] \IR [/mm] ist ein archimedisch geordneter Körper (Stichwort zum nachschlagen).
Es sei denn, Du sollst sie mit dem vorigen Induktionsprinzip beweisen!
Klär das aber mal ab, bevor wir uns da ranmachen...
> Vielen Dank für eure Hilfe!
> Ich hoffe die Sache wird sich im Laufe der Zeit bessern,
> so dass ich nicht nur genau verstehe, was man von mir will,
> sondern auch Beweisansätze finde!
Das gibt sich schon...
LG, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Fr 11.11.2005 | | Autor: | SirBigMac |
Kurze Frage noch zu dem Beweis:
> > Beweisen Sie folgende Variante des Induktionsprinzips für
> > beliebiges k [mm]\in \IZ[/mm] und [mm]\IN_{k}=\{n+k|n\in\IN\}:[/mm]
> >
> > Wenn [mm]M\subset\IN_{k}, k\in[/mm] M und [mm](m\in[/mm] M [mm]\Rightarrow (m+1)\in[/mm]
> M),
> > dann ist M = [mm]\IN_{k}.[/mm]
> Annahme: Es gibt ein m [mm]\in \IZ[/mm] mit m [mm]\ge[/mm] k, dass nicht in
> M liegt.
> Dann gibt es unter diesen m's ein kleinstes, [mm]m_0[/mm] genannt
> mit [mm]m_0[/mm] > k (k liegt ja in M), sodass [mm]m_0-1[/mm] in M liegen
> muss. Dann folgt aus der Induktionsvoraussetzung [mm](m_0-1)\in[/mm]
> M [mm]\Rightarrow m_0\in M[/mm], also ein Widerspruch. Damit liegen
> alle m [mm]\ge[/mm] k in M und M = [mm]\IN_k[/mm]
Versteh ich das richtig: Die Annahme ist, dass M [mm] \not= \IN [/mm] _{k} ist oder? Also [mm] M^{c}= \IN [/mm] \ M [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Das bedeutet dann schlussendlich, dass dann [mm] (m_{0}-1)+1 \in [/mm] M ist (Induktionsvorraussetzung).
Und [mm] m_{0} [/mm] kann nicht in M und in [mm] M^{c} [/mm] sein, oder?
Gruß
SirBigMac
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Kuebi |
Na das freut mich aber, dass nicht nur ich diese zweite Aufgabe bescheuert finde! 
Leider habe ich keine Möglichkeit mehr, Rückfrage bzgl. ihr zu halten, deshalb wäre irgendein Lösungsansatz hilfreich!
Ich denke es stellt keine Problem dar, die Aufgabe mit vorigem Induktionsprinzip zu zeigen.
Lg, Kübi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Fr 11.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Kuebi
Die Aufgabe kann eigentlich nix mit Induktion zu tun haben, Was bitte soll denn ein Induktionsangang sein, und n ist aus Z nicht aus N.> Na das freut m
> Ich denke es stellt keine Problem dar, die Aufgabe mit
> vorigem Induktionsprinzip zu zeigen.
Versteh ich nicht, aber wenns kein Problem für dich ist lös sie halt.
Sonst musst du erstmal eure Def. der reellen Zahlen, und was ihr bisher über sie bewiesen habt nehmen, und dann zeigen, dass jede in genau einem der Intervalle liegt, und dass jeder Pkt eines Intervalls in [mm] \IR [/mm] liegt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:23 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo SirBigMac,
ja, so kannst Du es auch formulieren.
Gruß, Richard
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