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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Mo 03.10.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich stehe grad an bei einen schwierigen Induktionsbeweis.
[mm] cos(x)*cos(2x)*cos(4x)*cos(8x)*.....*cos(2^{n-1}x)=\bruch{sin(2^nx}{2^n*sin(x)}
[/mm]
Weiters steht man soll die Identität 2cos(x)*sin(x)=sin(2x) benutzen
der I.A klappt noch wunderbar aber beim Schritt endet es im Chaos.
I.s : [mm] cos(x)*cos(2x)*cos(4x)*cos(8x)*.....*cos(2^{n-1}x)*cos(2^{n+1-1}x)=\bruch{sin(2^{n+1}x}{2^{n+1}*sin(x)}
[/mm]
Nun kann ich ja wie bei jeder anderen Induktion auf der linken Seite [mm] cos(x)*cos(2x)*cos(4x)*cos(8x)*.....*cos(2^{n-1}x) [/mm] durch [mm] \bruch{sin(2^nx}{2^n*sin(x)} [/mm] ersetzen oder? aber ich sehe mich nicht heraus :/
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Hallo racy,
> Ich stehe grad an bei einen schwierigen Induktionsbeweis.
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> [mm]cos(x)*cos(2x)*cos(4x)*cos(8x)*.....*cos(2^{n-1}x)=\bruch{sin(2^nx}{2^n*sin(x)}[/mm]
>
> Weiters steht man soll die Identität
> 2cos(x)*sin(x)=sin(2x) benutzen
>
> der I.A klappt noch wunderbar aber beim Schritt endet es im
> Chaos.
>
> I.s :
> [mm]cos(x)*cos(2x)*cos(4x)*cos(8x)*.....*cos(2^{n-1}x)*cos(2^{n+1-1}x)=\bruch{sin(2^{n+1}x}{2^{n+1}*sin(x)}[/mm]
>
> Nun kann ich ja wie bei jeder anderen Induktion auf der
> linken Seite
> [mm]cos(x)*cos(2x)*cos(4x)*cos(8x)*.....*cos(2^{n-1}x)[/mm] durch
> [mm]\bruch{sin(2^nx}{2^n*sin(x)}[/mm] ersetzen oder?
Ja, genau. Außerdem brauchst Du noch die Umformung [mm] 2^{n+1}=2*2^n=2^n+2^n
[/mm]
Rechne doch mal vor.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mo 03.10.2011 | | Autor: | racy90 |
Okay dann hab ich nachdem ich den Ausdruck ersetzt habe stehen:
[mm] \bruch{sin(2^nx}{2^n\cdot{}sin(x)}*cos(2^nx)=\bruch{sin(2^n+2^nx}{2^n+2^n\cdot{}sin(x)}
[/mm]
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Hallo
> Okay dann hab ich nachdem ich den Ausdruck ersetzt habe
> stehen:
>
[mm] \bruch{sin(2^nx)}{2^n\cdot{}sin(x)}*cos(2^nx)
[/mm]
Jetzt mit 2 erweitern
[mm] \bruch{2*sin(2^nx)*cos(2^nx)}{2^{n+1}\cdot{}sin(x)} [/mm]
Und jetzt verwendest du die angegebene Identität und du bist fertig!
Gruß
TheBozz-mismo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mo 03.10.2011 | | Autor: | racy90 |
dann steht aber links :
[mm] \bruch{sin(2x)}{2^{n+1}\cdot{}sin(x)}
[/mm]
und rechts:
[mm] \bruch{sin(2^{n+1}x}{2^{n+1}sin(x)}
[/mm]
Im Zähler stimmt es dann doch nicht oder?
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Hallo nochmal,
so kurz davor...
Du hattest $ [mm] \bruch{\sin{(2^nx)}}{2^n*\sin{(x)}}*\cos{(2^nx)}=\bruch{\sin{(2^n+2^n)x}}{(2^n+2^n)*\sin{(x)}} [/mm] $
- auch wenn noch ein paar Klammern fehlten.
Multiplizieren mit [mm] 2^{n+1}\sin{(x)}:
[/mm]
[mm] 2*\sin{(2^{n}x)}\cos{(2^{n}x)}=\sin{(2*2^{n}x)}
[/mm]
Fertig. Das ist die zu verwendende Identität, das wohl bekannteste aller Additionstheoreme, auch Doppelwinkelsatz genannt.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Mo 03.10.2011 | | Autor: | racy90 |
okay danke :)
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