Induzierte Matrixnorm < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 So 27.04.2014 | | Autor: | Arthaire |
| Aufgabe | Sei ||.|| eine Norm auf [mm] \IR^n. [/mm] Dann definiert ||A|| := [mm] sup_{x\not=0}\bruch{||Ax||}{||x||} [/mm] eine Matrixnorm auf [mm] \IR^{n \times n}. [/mm] Zeigen Sie:
a) Dies ist eine Norm
b) Diese Norm ist verträglich mit der Vektornorm ||.||, d.h. für alle A [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] gilt ||Ax|| [mm] \le [/mm] ||A|| * ||x||.
c) Diese Norm ist submultiplikativ, d.h. für alle A,B [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] gilt ||AB|| [mm] \le [/mm] ||A|| * ||B||.
c) Diese Norm ist minimal in dem Sinne, dass für jede Matrixnorm [mm] ||.||_{M} [/mm] die mit der Vektornorm verträglich ist gilt ||A|| [mm] \le ||A||_{M} [/mm] für alle A [mm] \in \IR^{n \times n}. [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Die Definition für die Norm ist mir bekannt und klar. Aber wie wende ich sie auf die induzierte Matrixnorm an?
Danke schonmal.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 So 27.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Arthaire,
> ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Die Definition für die Norm ist mir bekannt und klar. Aber
> wie wende ich sie auf die induzierte Matrixnorm an?
Du sollst die Definition von einer Norm nicht anwenden,
sondern zeigen, dass
[mm] \sup_{x\not=0}\bruch{||Ax||}{||x||}
[/mm]
eine Norm ist. Aus diesem Grund musst du bei deiner ersten
Teilaufgaben nur Definitheit, absolute Homogenität und die
Dreiecksungleichung davon zeigen.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 So 27.04.2014 | | Autor: | Arthaire |
Hallo DieAcht,
das ist mir bewusst, aber wenn ich es auf die Norm ||A|| anwende und somit auf [mm] \sup_{x\not=0}\bruch{||Ax||}{||x||} [/mm] dann bin ich mir nicht sicher, ob meine Schlußfolgerung stimmt. Wenn ich z.B. sage, dass [mm] \sup_{x\not=0}\bruch{||Ax||}{||x||} [/mm] = 0 ist, folgt dann, dass A = 0 ist, da x [mm] \not= [/mm] 0 ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 So 27.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> das ist mir bewusst, aber wenn ich es auf die Norm ||A||
> anwende und somit auf [mm]\sup_{x\not=0}\bruch{||Ax||}{||x||}[/mm]
> dann bin ich mir nicht sicher, ob meine Schlußfolgerung
> stimmt.
Dafür bist du doch unter Anderem hier. 
> Wenn ich z.B. sage, dass
> [mm]\sup_{x\not=0}\bruch{||Ax||}{||x||}[/mm] = 0 ist, folgt dann,
> dass A = 0 ist, da x [mm]\not=[/mm] 0 ist?
Ja, aber deine Begründung ist nicht ausreichend. Wir unter-
suchen doch hier einen Bruch und der Nenner ist zum Glück
nach Voraussetzung ungleich Null. Der Bruch wird hier also
Null, falls der Zähler Null ist. Wegen [mm] x\not=0 [/mm] muss also $A=0$
gelten.
Weiter geht es mit der absoluten Homogenität und der Dreiecks-
ungleichung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 So 27.04.2014 | | Autor: | Arthaire |
Vielen Dank,
also geht es so weiter?
Homogenität: hier ist die Begründung wieder die gleiche. Der Bruch muss [mm] |\alpha| [/mm] * [mm] \sup_{x\not=0}\bruch{||Ax||}{||x||} [/mm] sein und das ist der Fall da der Zähler ungleich null ist und das Produkt eines Skalaren mit einem Bruch das gleiche ist wie die Norm aus dem Skalar und dem Bruch.
Subadditivität: Hier bin ich mir nicht sicher, wie man es anschaulich klar machen kann. Muss ich eine andere induzierte Norm addieren und dann angeben, ob das Ergebnis der Summe der Normen [mm] \le [/mm] dem Ergebnis der einzelnen Normen ist?
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
