Infektion Aufgabe < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einer Stadt grassiert eine Magendarminfektion. Sie verläuft in keinem Fall tödlich.
Wenn man sie überstanden hat, dann ist man gegen die Infektion immun.
Am Anfang sind 10% der Einwohner erkrankt (E), 10% sind immun (I) und 80% sind zwar gesund, aber dennoch gefährdend (G).
a) Wann ist der Krankenstand am höchsten?
b) Nach wie vielen Tagen sind weniger als 10% der Einwohner erkrankt? |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Zu dieser Aufgabe haben wir ein Übergangsdiagramm erhalten, daraus habe ich die Matrize abgelesen:
[mm] \pmat{ 0,6 & 0 & 0,3 \\ 0,4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0,7}
[/mm]
Dann habe ich den Vektor [mm] aufgestellt:\vektor{0,1 \\ 0,1 \\ 0,8}
[/mm]
a) habe ich ganz einfach ausgerechnet.
Aber bei b) bin ich mir unsicher. Muss ich darauf achten, dass die erste Zeile meines Ergebnisses unter 0,1 wird?
Ich habe das Ende des 6. Tages ausgerechnet (um a) bestimmen zu können):
[mm] \pmat{ 0,6 & 0 & 0,3 \\ 0,4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0,7}* \vektor{0,28932 \\ 1,076224 \\ 0,134456} [/mm] = [mm] \vektor{0,2139288 \\ 1,191952 \\ 0,0941192}
[/mm]
Muss ich jetzt die ganze Zeit so weiterrechnen bis die erste Zeile =0,1 oder kleiner wird?
Oder geht man da anders vor?
Liebe Grüße,
Sarah 
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| Aufgabe | In einer Stadt grassiert eine Magendarminfektion. Sie verläuft in keinem Fall tödlich.
Wenn man sie überstanden hat, dann ist man gegen die Infektion immun.
Am Anfang sind 10% der Einwohner erkrankt (E), 10% sind immun (I) und 80% sind zwar
gesund, aber dennoch gefährdend (G).
a) Wann ist der Krankenstand am höchsten?
b) Nach wie vielen Tagen sind weniger als 10% der Einwohner erkrankt? |
> Hallo Zusammen ,
>
> Zu dieser Aufgabe haben wir ein Übergangsdiagramm erhalten,
> daraus habe ich die Matrize abgelesen:
>
> [mm]\pmat{ 0,6 & 0 & 0,3 \\ 0,4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0,7}[/mm]
= Übergangsmatrix U
>
> Dann habe ich den Vektor [mm]aufgestellt:\vektor{0,1 \\ 0,1 \\ 0,8}[/mm]
dies wäre mein Vektor [mm] z_0
[/mm]
> a) habe ich ganz einfach ausgerechnet.
Ergebnis ?
>
> Aber bei b) bin ich mir unsicher.
> Ich habe das Ende des 6. Tages ausgerechnet (um a)
> bestimmen zu können):
>
> [mm]\pmat{ 0,6 & 0 & 0,3 \\ 0,4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0,7}* \vektor{0,28932 \\ 1,076224 \\ 0,134456} =\vektor{0,2139288 \\ 1,191952 \\ 0,0941192}[/mm]
ich habe andere Zahlen
> Muss ich jetzt die ganze Zeit so weiterrechnen bis die
> erste Zeile =0,1 oder kleiner wird? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ja
Hallo Sarah,
die Aufgabenstellung, wie sie oben steht, ist sicher
unvollständig. Es wird zwar ein Momentanbild skizziert,
aber keinerlei Angaben über die Ansteckungsmechanismen
oder -Häufigkeiten geliefert. Die werden erst in der
Übergangsmatrix gegeben, welche also Bestandteil der
Aufgabenstellung sein muss. Diese Matrix muss man auch
zuerst richtig zu lesen verstehen. Aus dem Zusammenhang
entnimmt man, dass das wohl eine Übergangsmatrix für
die Zustände der Menschen der Stadt bezüglich der Infektion,
betrachtet von Tag zu Tag, ist. So würde z.B. der Eintrag
0.4 bedeuten: eine an einem Tag noch als krank eingestufte
Person ist am nächsten Tag mit einer Wahrscheinlichkeit von
0.4=40% immun.
Nebenbei: in der Aufgabenstellung sollte wohl an der Stelle
des Wortes "gefährdend" richtig "gefährdet" heissen. In
diesem Zusammenhang von anstecken und angesteckt
werden ist dies doch ein ganz wesentlicher Unterschied !
Die ganze Aufgabe ist dann wohl wirklich auf die Bearbeitung
mit einem Rechner zugeschnitten, welcher die Multiplikation
Matrix*Vektor ermöglicht.
Damit kann man die gestellten Fragen dann tatsächlich
durch Probieren lösen. Um eine klare Bezeichnungsweise
einzuführen, würde ich z.B. folgendes vorschlagen:
Übergangsmatrix U= [mm]\pmat{ 0.6 & 0 & 0.3 \\ 0.4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0.7}[/mm]
Zustand am n-ten Tag: [mm] z_n=\vektor{e_n\\i_n\\g_n}
[/mm]
Zustand zu Beginn der Beobachtung: [mm] z_0=\vektor{e_0\\i_0\\g_0}=\vektor{0.1\\0.1\\0.8}
[/mm]
[mm] z_{n+1}=\vektor{e_{n+1}\\i_{n+1}\\g_{n+1}}=\vektor{U_{11}*e_n+U_{12}*i_n+U_{13}*g_n\\U_{21}*e_n+U_{22}*i_n+U_{23}*g_n\\U_{31}*e_n+U_{32}*i_n+U_{33}*g_n}=U*z_n
[/mm]
Zum genauen Verständnis lohnt es sich, sich die hier
involvierten Rechnungen wenigstens an Beispielen
im Detail zu vergegenwärtigen ! Z.B.: wie berechnet
man den Anteil der am 5.Tag immunen Personen aus
dem Vektor [mm] z_4 [/mm] ?
Rechnerisch bekomme ich andere Resultate. Für den
Vektor [mm] z_5 [/mm] habe ich zum Beispiel:
[mm] z_5=\vektor{0.2245\\0.6410\\0.1345}
[/mm]
LG
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Hallo Al-Chwarizmi ,
Danke für deine Antwort!
> > a) habe ich ganz einfach ausgerechnet.
> Ergebnis ?
Der Krankenstand ist am Ende des ersten Tages mit
[mm] \vektor{0,8 \\ 0,14 \\ 0,56} [/mm] am höchsten. EDIT: Fehler gefunden! Es muss heißen [mm] \vektor{0,3 \\ 0,14 \\ 0,56}! [/mm] Habe das falsch abgelesen :-( Damit verändern sich jetzt alle anderen Werte auch :-(
> > [mm]\pmat{ 0,6 & 0 & 0,3 \\ 0,4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0,7}* \vektor{0,28932 \\ 1,076224 \\ 0,134456} =\vektor{0,2139288 \\ 1,191952 \\ 0,0941192}[/mm]
> ich habe andere Zahlen
Hast du auch immer die Übergangsmatrix mit dem vorher erhaltenen Ergebnis multipliziert?
Ich rechne das nochmal mit dem TR nach.
> > Muss ich jetzt die ganze Zeit so weiterrechnen bis die
> > erste Zeile =0,1 oder kleiner wird?
Dann mache ich das jetzt noch.
> die Aufgabenstellung, wie sie oben steht, ist sicher
> unvollständig. Es wird zwar ein Momentanbild skizziert,
> aber keinerlei Angaben über die Ansteckungsmechanismen
> oder -Häufigkeiten geliefert. Die werden erst in der
> Übergangsmatrix gegeben, welche also Bestandteil der
> Aufgabenstellung sein muss. Diese Matrix muss man auch
> zuerst richtig zu lesen verstehen. Aus dem Zusammenhang
> entnimmt man, dass das wohl eine Übergangsmatrix für
> die Zustände der Menschen der Stadt bezüglich der
> Infektion,
> betrachtet von Tag zu Tag, ist. So würde z.B. der Eintrag
> 0.4 bedeuten: eine an einem Tag noch als krank
> eingestufte
> Person ist am nächsten Tag mit einer Wahrscheinlichkeit
> von
> 0.4=40% immun.
Folgende Angaben habe ich "unterschlagen":
Die erste Spalte der Übergangsmatrix gibt die erkrankten Einwohner an, die zweite Spalte die Einwohner, die immun sind und die dritte Spalte gibt die gesunden Einwohner an.
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:29 Di 04.11.2008 | | Autor: | Zorba |
Vielleicht geht das mit vollständiger Infektion 
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Mit vollständiger Induktion könnte man zeigen, dass
die Infektion tatsächlich früher oder später jedes
Individuum ergreift, das nicht schon von Anfang an
immun war. Am Ende hat man aber nicht vollständige
Infektion, sondern vollständige Immunität
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Hallo Sarah
> Der Krankenstand ist am Ende des ersten Tages mit
> [mm]\vektor{0,3 \\ 0,14 \\ 0,56}[/mm] am höchsten. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
am darauf folgenden Tag gibt es noch etwas mehr Kranke: [mm] z_2=[/mm] [mm]\vektor{\red{0,348} \\ 0,26 \\ 0,392}[/mm]
> Hast du auch immer die Übergangsmatrix mit dem vorher
> erhaltenen Ergebnis multipliziert?
natürlich: stets [mm] z_{n+1}=U*z_n
[/mm]
> Die erste Spalte der Übergangsmatrix gibt die erkrankten
> Einwohner an, die zweite Spalte die Einwohner, die immun
> sind und die dritte Spalte gibt die gesunden Einwohner an.
exakter: in der ersten Spalte stehen z.B. untereinander die
Übergangswahrscheinlichkeiten [mm] P(E\to{E}),P(E\to{I}),P(E\to{G})
[/mm]
dafür, dass eine am n-ten Tag kranke Person am (n+1)-ten Tag
immer noch krank / immun / gesund aber infizierbar ist.
lieben Gruß Al-Chw.
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