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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Fr 31.10.2008 | | Autor: | ow... |
| Aufgabe | HAllo Leute,
kann jemand mir helfen, wie man diese Aufgabe machen soll ?
Sei p: RxR -> R definiert durch
p(x) := (x1 . x2 - 1) ^2 + x2 ^2
Bestimme das Infimum von p auf RxR und zeige dass das Infimum nicht als Minimalwert angenommen wird.
Auf die Antwort freue ich mich
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HAllo Leute,
kann jemand mir helfen, wie man diese Aufgabe machen soll ?
Sei p: RxR -> R definiert durch
p(x) := (x1 . x2 - 1) ^2 + x2 ^2
Bestimme das Infimum von p auf RxR und zeige dass das Infimum nicht als Minimalwert angenommen wird.
Auf die Antwort freue ich mich
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Hallo ow... und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> HAllo Leute,
>
> kann jemand mir helfen, wie man diese Aufgabe machen soll
> ?
>
> Sei p: RxR -> R definiert durch
> p(x) := (x1 . x2 - 1) ^2 + x2 ^2
Ich kann deine Funktion [mm] $p(x)=p((x_1,x_2))$ [/mm] nicht so recht identifizieren ...
Ist das ein Malpunkt, also [mm] $\cdot{}$ [/mm] zwischen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$, [/mm] lautet es also [mm] $p(x)=(x_1\cdot{}x_2-1)^2+x_2^2$ [/mm] ?
Klicke mal auf meine Formeln, dann siehst du, wie man sie mit dem Formeleditor eingibt
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Fr 31.10.2008 | | Autor: | ow... |
$ [mm] p(x)=(x_1\cdot{}x_2-1)^2+x_2^2 [/mm] $
Ach so, danke fuer dein Tipps :)
Ja, Die Funktion sollte die zweite Funktion die du geschrieben hast.
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Hallo ow...
Schauen wir uns deine Funktion mal an: [mm] p(x_1,x_2)=(x_1x_2-1)^2+x_2^2.
[/mm]
Das Infimum einer Funktion ist als kleinste untere Schranke definiert. Das heißt, dass für keinen Wert [mm] (x_1,x_2) p(x_1,x_2) [/mm] kleiner als diese untere Schranke wird, und weiterhin ist das Infimum die größte aller solchen unteren Schranken.
Das Erste, was dir auffallen sollte, ist, dass p Summe zweier Quadrate ist, nämlich [mm] (x_1x_2-1)^2 [/mm] und [mm] x_2^2. [/mm] Da Quadrate aber immer positiv [mm] (\geq [/mm] 0) sind, hast du schon die erste untere Schranke gefunden. p wird niemals kleiner als 0.
Ist es auch die größte untere Schranke, oder wird p vielleicht auch nie kleiner als 1? Nun, 1 ist sicher keine untere Schranke. Es ist unter anderem [mm] p(\bruch{1}{2},\bruch{1}{2})=\bruch{13}{16}<1.
[/mm]
Das Infimum liegt damit zwischen 0 und 1.
Nehmen wir an, es existiert ein beliebiges [mm] \epsilon [/mm] > 0, das auch eine untere Schranke ist.
Annahme: [mm] p(x_1,x_2)=(x_1x_2-1)^2+x_2^2>\epsilon\: \forall (x_1,x_2)\in \IR \times \IR.
[/mm]
Aber was ist mit dem Punkt [mm] (\bruch{2}{\epsilon},\bruch{\epsilon}{2})?
[/mm]
Es ist [mm] p(\bruch{2}{\epsilon},\bruch{\epsilon}{2})=(1-1)^2+\bruch{\epsilon}{2}^2=\bruch{\epsilon^2}{4}. [/mm] Für kleine [mm] \epsilon, [/mm] und um die geht es hier (zumindest mit obigem Beispiel [mm] \epsilon [/mm] < 1), ist aber [mm] \bruch{\epsilon^2}{4}<\epsilon. [/mm] Widerspruch. Ein solches [mm] \epsilon [/mm] existiert somit nicht, da du immer einen Punkt [mm] (x_1,x_2) [/mm] finden wirst, der auf einen Wert geringer als [mm] \epsilon [/mm] abgebildet wird. Das Infimum ist somit 0.
Wird es angenommen? Wenn [mm] p(x_1,x_2)=(x_1x_2-1)^2+x_2^2=0 [/mm] sein soll, muss [mm] x_2^2=0 [/mm] sein, da [mm] (x_1x_2-1)^2 \geq [/mm] 0. Dann ist aber [mm] (x_1x_2-1)^2=(x_1\cdot 0-1)^2=(0-1)^2=1 [/mm] und somit [mm] p(x_1,x_2)=1\neq [/mm] 0. Das Infimum wird nicht angenommen.
Hoffe, ich konnte dir helfen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Fr 31.10.2008 | | Autor: | ow... |
Wwow...
du hast sehr ausfuehrlich erklaert... Danke danke...
Wow...... jetzt weiss ich die Richtung wohin ich beweisen muss..
Kannst du mal mir empfehlen,welches gutes Buch ich lesen kann ?
Vielennnnnnnnnnnnnn Dank..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Fr 31.10.2008 | | Autor: | konfuzius |
Hmmm für welche Vorlesung brauchst du das denn? Ich habe Infimum/Supremum in Ana gelernt; Analysis habe ich im ersten Durchgang mit dem Forster gemacht (Vor allem Band 1 und 2 halte ich für sehr gelungen), und danach, wenn man halbwegs verstanden hat, den Königsberger dazugenommen(Analysis 1 und 2, wobei der 2er dafür schon zu weit ist. Das steht im 1er).
Bei Infimum-Sachen geht einiges über "Übung". Das ist wie bei [mm] \epsilon-\delta-Beweisen [/mm] für Konvergenz. Wie du dann den Punkt wählen musst, kann man nicht pauschalisieren, so wie in diesem Fall das [mm] (\bruch{2}{\epsilon},\bruch{\epsilon}{2}). [/mm] Im Zweifelsfall versuch dich mit expliziten Beispielen. Eine Variable fest halten, die andere verkleinern/vergrößern, bzw logisch versuchen, die Funktion zu verkleinern. Und dann stößt du irgendwann an "Grenzen". Und an denen tastest du dich entlang um die beste Grenze zu finden. Nichts anderes ist das Infimum: die in diesem Sinne "beste" untere Grenze. Du kannst deine Funktion p ja auch durch -1000 abschätzen, aber diese Grenze ist nichtsaussagend, weil recht schnell klar ist, dass sie nie so klein wird.
Ansonsten frag einfach weiter hier nach, und es wird dir sicher jemand helfen können! Ich versuche es auf jeden Fall 
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