Infimum/Supremum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Do 30.10.2008 | | Autor: | Becky27 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Supremum, Infimum, Maximum und Minimum sofern sie existieren von folgenden Mengen:
A={2*abs(x-1)/(1+x) für x als reelle Zahl und x>-1}
B={1/x-1/y für x,y Element R mit x,y >=1} |
Ich habe Supremum, Infimum, Minimum, Maximum soweit vorhanden bestimmt, jetzt hänge ich jedoch bei dem Problem zu zeigen, dass meine Lösung auch wirklich stimmt. Für die Menge A komme ich nicht weiter bei dem Beweis, dass es kein Supremum gibt und für die Menge B weiß ich nicht wie ich zeigen kann, dass die gefundenen Schranken auch wirklich Supremum bzw. Minimum sind.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Do 30.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Bestimmen Sie Supremum, Infimum, Maximum und Minimum sofern
> sie existieren von folgenden Mengen:
> A={2*abs(x-1)/(1+x) für x als reelle Zahl und x>-1}
> B={1/x-1/y für x,y Element R mit x,y >=1}
> Ich habe Supremum, Infimum, Minimum, Maximum soweit
> vorhanden bestimmt, jetzt hänge ich jedoch bei dem Problem
> zu zeigen, dass meine Lösung auch wirklich stimmt. Für die
> Menge A komme ich nicht weiter bei dem Beweis, dass es kein
> Supremum gibt und für die Menge B weiß ich nicht wie ich
> zeigen kann, dass die gefundenen Schranken auch wirklich
> Supremum bzw. Minimum sind.
Wenn du zeigen willst, das eine Menge kein Supremum (Infimum) besitzt, musst du nur zeigen, dass die Menge nicht nach oben (unten) beschränkt ist.
Wenn du zeigen willst, dass C ein Supremum (Infimum) der Menge M ist, musst du zeigen:
1) C ist eine obere (untere) Schranke von M
2) ist C'<C (C'>C), so ist C' keine obere (untere) Schranke von M.
An welcher Stelle hakt es denn?
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:42 Do 30.10.2008 | | Autor: | Becky27 |
Um zu zeigen dass es kein Supremum gibt, wollte ich einen Widerspruchsbeweis führen. Ich habe gesagt, sei s obere Schranke von A, dann gilt: A<=s
Diese Ungleichung habe ich dann umgeformt, habe aber kein Ergebnis bekommen, mit dem ich eine feste Aussage über die Existenz einer Schranke hätte machen können.
Im Bezug auf die Menge B ist es ein ähnliches Problem, ich habe -1 und 1 als Schranken, und habe dann gesagt mit e>0 wäre B>=-1+e, wenn es noch eine größere untere Schranke gibt, analog dazu habe ich das gleiche für die obere Schranke versucht, kam aber auf kein Ergebnis.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 Fr 31.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Ähm.. mir fällt auch grad auf, dass A sehr wohl ein Supremum besitzt (nämlich 1), aber kein Maximum, Inimum und Minimum.
Bei der Menge B komme ich auch auf 1 und -1. Zum Beispiel ist
1) 1 eine obere Schranke von B, denn [mm] $1/x-1/y\le [/mm] 1-1/y$, da [mm] $x\ge [/mm] 1$ und somit [mm] $1/x-1/y\le1$.
[/mm]
2) 1 die kleinste obere Schranke, denn sei [mm] $C=1-\varepsilon<1$ [/mm] eine kleinere obere Schranke, dann kann ich $x=1$ und [mm] $y=1+\frac{1}{\varepsilon}>1$ [/mm] wählen. Dann liegt $1/x-1/y$ offenbar in B und ist größer als $C$ (warum?) - Widerspruch.
Genauso musst du auch bei den anderen Sachen vorgehen. Manchmal ist es schwerer, mal einfacher.
Gruß, Robert
|
|
|
|
