Infimum & Supremum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Do 19.01.2012 | | Autor: | DanG |
| Aufgabe | Bestimmen Sie In fimum und Supremum der folgenden Menge, und geben Sie an,
ob das Infi mum bzw. das Supremum in der Menge enthalten ist.
M1 = { [mm] x\in\IR [/mm] ; [mm] \exists n\in\IN [/mm] : x = [mm] (-1)^n/(4n^2) [/mm] } |
Wie kann ich das mathematisch korrekt lösen und aufschreiben?
Ich würde argumentieren mit:
[mm] (-1)^n [/mm] ist [mm] \forall n\in\IN [/mm] entweder 1 oder -1
es gilt: n+1 > n
weiterhin gilt auch für alle n: [mm] (-1)^n [/mm] < [mm] 4n^2 [/mm] < [mm] 4(n+1)^2
[/mm]
darum gilt:
[mm] |((-1)^n)/(4n^2)| [/mm] > [mm] |((-1)^{n+1})/(4n^2)| [/mm]
damit ist das Infimum 0 und das Supremum 1/4
bin mir aber nicht sicher, ob das ausreicht und ob das von der Form her richtig ist
bin Dankbar für Hilfe!
lg. Dan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Do 19.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.für n=1 ist x=-1/4 also 0 ist sicher nicht das Inf.
2. für n=2 ist x=1/16
wo erreichst du die Nähe von 1/4, deinem sup?
3. wie kommst du auf den Schluss?
$ [mm] (-1)^n [/mm] $ < $ [mm] 4n^2 [/mm] $ < $ [mm] 4(n+1)^2 [/mm] $
richtig aber daraus folgt nicht!
darum gilt:
$ [mm] |((-1)^n)/(4n^2)| [/mm] $ > $ [mm] |((-1)^{n+1})/(4n^2)| [/mm] $
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Do 19.01.2012 | | Autor: | DanG |
Erstmal dankeschön für die Antwort. Stimmt. Da ist was schief gegangen. Klar, o kann nicht das Infimum sein, wenn ein Wert von -1/4 erreicht wird. und das zweite Glied der Reihe ist dann 1/16. Ein höherer Wert wird auch nicht erreicht.
Aber warum stimmt der Ausdruck
$ [mm] |((-1)^n)/(4n^2)| [/mm] $ > $ [mm] |((-1)^{n+1})/(4n^2)| [/mm] $
nicht? Durch das Betragzeichen müsste das doch passen, da der Betrag des Folgeglieds doch tatsächlich immer kleiner ist, als der des Voherigen oder nicht?
Wenn das stimmt, müsste es reichen um zu zeigen, dass kein höherer Wert als 1/16 und kein kleinerer Wert als -1/4 erreicht wird oder?
Schon mal danke fürs bearbeiten :)
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Do 19.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal dankeschön für die Antwort. Stimmt. Da ist was
> schief gegangen. Klar, o kann nicht das Infimum sein, wenn
> ein Wert von -1/4 erreicht wird. und das zweite Glied der
> Reihe ist dann 1/16. Ein höherer Wert wird auch nicht
> erreicht.
> Aber warum stimmt der Ausdruck
>
> [mm]|((-1)^n)/(4n^2)|[/mm] > [mm]|((-1)^{n+1})/(4n^2)|[/mm]
>
> nicht?
Es ist [mm]|((-1)^n)/(4n^2)|[/mm] = [mm]|((-1)^{n+1})/(4n^2)|[/mm]
Denn [mm] |(-1)^n|=1=|(-1)^{n+1}|
[/mm]
FRED
> Durch das Betragzeichen müsste das doch passen, da
> der Betrag des Folgeglieds doch tatsächlich immer kleiner
> ist, als der des Voherigen oder nicht?
> Wenn das stimmt, müsste es reichen um zu zeigen, dass kein
> höherer Wert als 1/16 und kein kleinerer Wert als -1/4
> erreicht wird oder?
>
> Schon mal danke fürs bearbeiten :)
> liebe Grüße
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:40 Do 19.01.2012 | | Autor: | DanG |
Ich habe im zweiten Term beim Quotienten das +1 hinter dem n vergessen. Das ist es was ich sagen wollte...
$ [mm] |((-1)^n)/(4n^2)| [/mm] $ > $ [mm] |((-1)^{n+1})/(4(n+1)^2)| [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 21.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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