Infimum,Supremum einer Menge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich hab mir gerade eine alte Übung von mir angesehen in der man Supremum und Infimum von Mengen bestimmen sollte.
Da das Thema u.U. klausurrelevant sein könnte und mir aufgefallen ist ,dass ich ein Verständnisproblem habe wie man zeigen kann ,dass eine Menge z.b. [mm] {x\in R; x>3} [/mm] ein Infimum hat.
Das Infimum in diesem Fall ist 3 ,da es die kleinste untere Schranke ist.
In der Musterlösung stehen leider nur die Ergebnisse ,aber nicht wie man zeigen kann ,dass das Ergebnis wirklich korrekt ist.
Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand helfen kann ,auch wenn es nur ein Link zu einer anderen Seite ist auf der es an einem Beispiel gezeigt wird o.ä. .
Mfg
moffeltoff
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich hab mir gerade eine alte Übung von mir angesehen in
> der man Supremum und Infimum von Mengen bestimmen sollte.
> Da das Thema u.U. klausurrelevant sein könnte und mir
> aufgefallen ist ,dass ich ein Verständnisproblem habe wie
> man zeigen kann ,dass eine Menge z.b. [mm]{x\in R; x>3}[/mm] ein
> Infimum hat.
> Das Infimum in diesem Fall ist 3 ,da es die kleinste
> untere Schranke ist.
> In der Musterlösung stehen leider nur die Ergebnisse
> ,aber nicht wie man zeigen kann ,dass das Ergebnis wirklich
> korrekt ist.
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> Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand helfen kann
> ,auch wenn es nur ein Link zu einer anderen Seite ist auf
> der es an einem Beispiel gezeigt wird o.ä. .
>
> Mfg
>
> moffeltoff
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
okay, bleiben wir mal bei dem Beispiel:
Dass für [mm] $M:=\{x \in \IR: x > 3\}$ [/mm] nun [mm] $\text{inf}M=3$ [/mm] gilt, kann man auf verschiedene Weisen begründen - hier zwei Möglichkeiten:
--
1. Variante:
Für alle $m [mm] \in [/mm] M$ gilt $m > 3$ und damit auch $m [mm] \ge 3\,,$ [/mm] so dass offenbar [mm] $3\,$ [/mm] untere Schranke von [mm] $M\,$ [/mm] ist. Wir zeigen noch: Es gibt keine größere untere Schranke:
Angenommen, doch. Dann gibt es ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ so, dass [mm] $3+\varepsilon \le [/mm] m$ für alle $m [mm] \in [/mm] M$ gilt. Für [mm] $m':=3+\frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] gilt aber offenbar
$$3 < [mm] m'=3+\frac{\varepsilon}{2}$$
[/mm]
und damit $m' [mm] \in M\,.$ [/mm] Somit müßte nach Definition [mm] $3+\varepsilon \le [/mm] m'$ und damit [mm] $3+\varepsilon \le 3+\frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] im Widerspruch zu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ sein.
--
Zweite Variante:
Analog zur ersten Variante sieht man, dass [mm] $3\,$ [/mm] untere Schranke von [mm] $M\,$ [/mm] ist. Daher gilt [mm] $\text{inf}M \ge 3\,.$ [/mm]
Nun ist aber mit
[mm] $$x_n:=3+\frac{1}{n}$$
[/mm]
offenbar eine Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN_{\ge 1}}$ [/mm] in $M$ gefunden (d.h. es gilt [mm] $x_n \in [/mm] M$ für jedes $n$), die gegen $3$ konvergiert. Damit muss
[mm] $$\text{inf}M \le x_n$$
[/mm]
für jedes [mm] $n\,$ [/mm] sein, woraus man unter Beachtung der Konvergenz von [mm] $(x_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $3\,$ [/mm] auch [mm] $\text{inf} [/mm] M [mm] \le [/mm] 3$ erkennt - insgesamt also
$$3 [mm] \le \text{inf}M \le 3\,.$$
[/mm]
Also [mm] $\text{inf}M=3\,.$
[/mm]
--
P.S.:
Wegen [mm] $\text{inf}M=3 \notin [/mm] M$ hat [mm] $M\,$ [/mm] kein Minimum!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Mo 10.01.2011 | | Autor: | moffeltoff |
Vielen Dank ,das war genau das was ich wissen wollte.
mfg
moffeltoff
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