Infimum und Supremum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien A,B [mm] \subset \IR [/mm] nichtleere beschränkte Mengen.
A-B := {a-b: a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B}
Zu zeigen: in(A-B) = inf(A) - sup(B) |
Ich hab mir überlegt die Gleichheit in zwei Teilen zu zeigen.
Also i) inf(A-B) [mm] \le [/mm] inf(A) - sup(B) und ii) in(A-B) [mm] \ge [/mm] inf(A) - sup(B)
Naja und dann hab ich mir überlegt, dass A [mm] \ge [/mm] inf(A) ist für alle a [mm] \in [/mm] A und B [mm] \ge [/mm] inf(B) für alle b [mm] \in [/mm] B. Für das sup(B) müsste ja gelten, dass B [mm] \le [/mm] sup(B) ist.
Und dann hab ich versucht, dass mal an einem Beispiel zu probieren... aber i.wo scheine ich einen Fehler zu haben...
Bsp. A=[a,b] B=[c,d] das inf von A ist a und das inf von B ist c und das sup von B ist d ... naja und dann ist doch( inf(A)=a) - (sup(B)=d) = a-d
Aber was ist denn inf(A-B) ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Thomas000 |
Also ich könnte das ja auch umschreiben:
inf(A-B) = inf(A + (-B)) = inf(A) + inf(-B) = inf(A) - sup(B)
Aber das muss ich ja zeigen und da scheiterts...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also ich könnte das ja auch umschreiben:
> inf(A-B) = inf(A + (-B)) = inf(A) + inf(-B) = inf(A) -
> sup(B)
die erste Gleichheit wäre dann trivial, wenn man [mm] $X+Y\,$ [/mm] für $X,Y [mm] \subseteq \IR$
[/mm]
definiert als
[mm] $$X+Y:=\{x+y: x \in X \wedge y \in Y\}\,.$$
[/mm]
Bringen tut das ganze fast nichts, denn die zweite Gleichheit wäre dann
immer noch zu beweisen...
> Aber das muss ich ja zeigen und da scheiterts...
Eben. Das bringt Dir hier nahezu nichts. Es wäre dann auch [mm] $\inf(-B)=-\sup(B)$ [/mm]
zu beweisen (was Du auch mal tun solltest, denn das ist eine schöne und
eigentlich einfache Übungsaufgabe)!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien A,B [mm]\subset \IR[/mm] nichtleere beschränkte Mengen.
> A-B := {a-b: a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B}
>
> Zu zeigen: inf(A-B) = inf(A) - sup(B)
> Ich hab mir überlegt die Gleichheit in zwei Teilen zu
> zeigen.
> Also i) inf(A-B) [mm]\le[/mm] inf(A) - sup(B) und ii) inf(A-B) [mm]\ge[/mm]
> inf(A) - sup(B)
>
> Naja und dann hab ich mir überlegt, dass A [mm]\ge[/mm] inf(A) ist
> für alle a [mm]\in[/mm] A und B [mm]\ge[/mm] inf(B) für alle b [mm]\in[/mm] B. Für
> das sup(B) müsste ja gelten, dass B [mm]\le[/mm] sup(B) ist.
>
> Und dann hab ich versucht, dass mal an einem Beispiel zu
> probieren... aber i.wo scheine ich einen Fehler zu
> haben...
> Bsp. A=[a,b] B=[c,d] das inf von A ist a und das inf von B
> ist c und das sup von B ist d ... naja und dann ist doch(
> inf(A)=a) - (sup(B)=d) = a-d
>
> Aber was ist denn inf(A-B) ?
na, es ist doch bei Dir dann
[mm] $$A-B=[a,b]-[c,d]=\{x-y: a \le x \le b \wedge c \le y \le d\}\,.$$ [/mm]
Ich behaupte: Es ist sogar [mm] $\min([a,b]-[c,d])=a-d\,.$
[/mm]
P.S. Ich zeige Dir mal, warum [mm] $\inf(A-B) \ge \inf(A)-\inf(B)$ [/mm] gilt:
Sei dazu $x [mm] \in A-B\,.$ [/mm] Dann gibt es ein $a [mm] \in [/mm] A$ und ein [mm] $b\in [/mm] B$ so, dass
man
$$x=a-b$$
schreiben kann. Nun ist aber $a [mm] \ge \inf(A)$ [/mm] und $b [mm] \le \sup(B)\,.$ [/mm] Also ist
[mm] $\inf(A) \le [/mm] a$ und [mm] $-\sup(B) \le -b\,,$ [/mm] so dass
[mm] $$\inf(A)-\sup(B) \le [/mm] a+(-b)=a-b=x$$
folgt. Da $x [mm] \in [/mm] A-B$ beliebig war, gilt [mm] $\inf(A)-\sup(B) \le [/mm] x$ für alle $x [mm] \in A-B\,.$
[/mm]
Also ist [mm] $\inf(A)-\sup(B)\,$ [/mm] eine untere Schranke für [mm] $A-B\,.$ [/mm] Warum folgt
nun sofort [mm] $\inf(A-B) \ge \inf(A)-\sup(B)$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | inf(A-B) [mm] \le [/mm] inf(A) - sup(B) |
Ok, danke.
Naja inf(A-B) [mm] \ge [/mm] inf(A) - sup(B) folgt sofort, da inf(A) - sup(B) eine untere Schranke von A-B ist, ist inf(A-B) die größte untere Schranke und die muss ja größer oder gleich der unteren Schranke von A-B sein.
Und jetzt muss ich also noch zeigen, was oben steht...
Da könnte ich auch bitte nen Ansatz gebrauchen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> inf(A-B) [mm]\le[/mm] inf(A) - sup(B)
> Ok, danke.
> Naja inf(A-B) [mm]\ge[/mm] inf(A) - sup(B) folgt sofort, da inf(A) -
> sup(B) eine untere Schranke von A-B ist, ist inf(A-B) die
> größte untere Schranke und die muss ja größer oder
> gleich der unteren Schranke von A-B sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und jetzt muss ich also noch zeigen, was oben steht...
> Da könnte ich auch bitte nen Ansatz gebrauchen.
Okay, wir wissen bis dato:
[mm] $$\inf(A-B) \ge \inf(A)-\sup(B)\,.$$
[/mm]
Um [mm] $\inf(A-B) \le \inf(A)-\sup(B)$ [/mm] zu beweisen: Nehmen wir an, diese
Ungleichung wäre falsch. Dann wäre also [mm] $\inf(A-B) [/mm] > [mm] \inf(A)-\sup(B)\,.$
[/mm]
Sei nun [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann gibt es ein [mm] $a=a(\epsilon) \in [/mm] A$ und es
gibt ein [mm] $b=b(\epsilon) \in [/mm] B$ so, dass [mm] $\inf(A)+\epsilon [/mm] > a [mm] \ge\inf(A)$
[/mm]
und [mm] $\sup(B)-\epsilon [/mm] < b [mm] \le \sup(B)\,.$ [/mm] Es folgt
[mm] $$(\inf(A)-\sup(B) \le\;\;)\;\;\;\; [/mm] a-b < [mm] \inf(A)-\sup(B)+\epsilon\;\;\;(\*)\,.$$
[/mm]
Nach Annahme ist mit [mm] $\epsilon:=\inf(A-B)-\inf(A)+\sup(B)$ [/mm] dann [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Setze nun dieses [mm] $\epsilon$ [/mm] in [mm] $(\*)$ [/mm] ein [mm] ($(\*)$ [/mm] muss dann ja auch mit
dieser speziellen Wahl von [mm] $\epsilon$ [/mm] gelten, da dieses spezielle [mm] $\epsilon$
[/mm]
auch echt größer als Null ist). Es folgt ein Widerspruch: Welcher?
P.S. Du kannst hier eventuell auch "mit Folgen" argumentieren - je
nachdem, wie ihr das Supremum definiert/charakterisiert habt...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Nun ja, der Widerspruch der sich hier ergibt ist doch, dass
a-b < inf (A-B)
D.h. also, dass A-B zwar eine untere Schranke wäre, aber nicht mehr die größte untere Schranke, denn a-b wäre dann eine größere untere Schranke.
odeR? also muss gelten: inf(A-B) [mm] \le [/mm] inf(A) - sup(B)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nun ja, der Widerspruch der sich hier ergibt ist doch, dass
> a-b < inf (A-B)
>
> D.h. also, dass A-B zwar eine untere Schranke wäre
das kapiere ich nicht: [mm] $A-B\,$ [/mm] ist eine Menge, nämlich
[mm] $$A-B=\{r \in \IR: \exists a \in A \wedge \exists b \in B: r=a-b\}\,,$$
[/mm]
kurz:
[mm] $$A-B=\{a-b: a \in A,\;b \in B\}\,.$$
[/mm]
> , aber
> nicht mehr die größte untere Schranke, denn a-b wäre
> dann eine größere untere Schranke.
?
> odeR? also muss gelten: inf(A-B) [mm]\le[/mm] inf(A) - sup(B)
Nein. Denke nochmal nach: Es wurden dann $a [mm] \in [/mm] A$ und $b [mm] \in [/mm] B$ so
gefunden, dass für
$$r:=a-b [mm] \in [/mm] (A-B)$$
dann gilt:
$$r < [mm] \inf(A-B)\,.$$
[/mm]
Könnte bei dieser - letzten - Ungleichung dann [mm] $\inf(A-B)$ [/mm] überhaupt noch
untere Schranke für die Menge [mm] $A-B\,$ [/mm] sein?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Thomas000 |
Naja a-b < inf(A-B) , dann ist inf(A-B) kein Infimum von A-B mehr...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Naja a-b < inf(A-B) , dann ist inf(A-B) kein Infimum von
> A-B mehr...
ja. Aber Du bringst es immer noch nicht auf den Punkt:
Es ist $a-b [mm] \in (A-B)\,.$ [/mm] Dann muss nach Definition von [mm] $\inf(A-B)$
[/mm]
aber insbesondere $a-b [mm] \ge \inf(A-B)$ [/mm] gelten, denn [mm] $\inf(A-B)$ [/mm] ist ja eine
untere Schranke für [mm] $A-B\,.$ [/mm] Wir haben aber $a-b < [mm] \inf(A-B)$ [/mm] gezeigt,
woraus folgen würde, dass [mm] $\inf(A-B)$ [/mm] doch keine untere Schranke für
[mm] $A-B\,$ [/mm] wäre.
Aber ich will da jetzt auch nicht lang und breit drauf rumreiten, denn ich
denke: Verstanden hast Du's auch so. 
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Thomas000 |
vielen Dank.
Naja ich möchte immer nicht so von "verstehen" reden ;)
Ich habs nachvollzogen und verstehe die Folgerungen und Definitonen. ;)
Also Danke nochmal.
|
|
|
|
