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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Savoyen |
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Hallo.
Ich üb grad etwas Mathe und habe hier einen Satz
Sind [mm] M_1 \subset \IR [/mm] und [mm] M_2 \subset \IR [/mm] nicht leer, [mm] M_1 \subset M_2 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] ist nach oben beschränkt, dann ist jede obere Schranke von [mm] M_2 [/mm] automatisch auch eine obere Schranke von [mm] M_1. [/mm] Damit gilt sup [mm] M_2 \le [/mm] sup [mm] M_1
[/mm]
Ich würde gerne die entsprechende Aussage für das Infimum aufstellen. Aber hier ist der Wurm drin
trivial, dass gilt emptyset [mm] \not= M_1 \subset M_2, M_2 [/mm] ist nach unten beschränkt.
Dann inf [mm] M_1 \le [/mm] inf [mm] M_2.
[/mm]
Aber kann das sein? Ich habe in [mm] M_2 \le [/mm] sup [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_1 \le [/mm] inf [mm] M_2. [/mm] ein [mm] \le [/mm] . Das sieht mir schon total nach Widerspruch aus. Muss es beim Infimum dann doch [mm] \ge [/mm] heißen oder was wäre die äquivalte Aussage?
Ihr würdet mir voll helfen, wenn ihr das hier mal klarstellt 
Tschüss
Savoyen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Mo 08.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich üb grad etwas Mathe und habe hier einen Satz
> Sind [mm]M_1 \subset \IR[/mm] und [mm]M_2 \subset \IR[/mm] nicht leer, [mm]M_1 \subset M_2[/mm]
> und [mm]M_2[/mm] ist nach oben beschränkt, dann ist jede obere
> Schranke von [mm]M_2[/mm] automatisch auch eine obere Schranke von
> [mm]M_1.[/mm] Damit gilt sup [mm]M_2 \le[/mm] sup [mm]M_1[/mm]
das sieht soweit gut aus.
> Ich würde gerne die entsprechende Aussage für das Infimum
> aufstellen. Aber hier ist der Wurm drin
> trivial, dass gilt emptyset [mm]\not= M_1 \subset M_2, M_2[/mm] ist
> nach unten beschränkt.
naja, das kann man so nicht folgern, denn [mm] $M_1 [/mm] := [0,1]$ und [mm] $M_2 [/mm] := [mm] \mathbb{R}$ [/mm] erfüllen offenbar die bedingungen, aber [mm] $M_2$ [/mm] ist ja nicht nach unten beschränkt. du solltest hier lieber eine aussage über die menge [mm] $M_1$ [/mm] anstreben, da diese ja von [mm] $M_2$ [/mm] "umgeben" wird...
> Dann inf [mm]M_1 \le[/mm] inf [mm]M_2.[/mm]
betrachte [mm] $M_1 [/mm] := [0,1]$ und [mm] $M_2 [/mm] := [-1,2]$ was ist dann [mm] $\inf M_1$ [/mm] und [mm] $\inf M_2$? [/mm] gilt die von dir aufgestellt behauptung?
> Aber kann das sein? Ich habe in [mm]M_2 \le[/mm] sup [mm]M_1[/mm] und [mm]M_1 \le[/mm]
> inf [mm]M_2.[/mm] ein [mm]\le[/mm] . Das sieht mir schon total nach
> Widerspruch aus. Muss es beim Infimum dann doch [mm]\ge[/mm] heißen
> oder was wäre die äquivalte Aussage?
> Ihr würdet mir voll helfen, wenn ihr das hier mal
> klarstellt
da trügt dich dein gefühl nicht. schau dir mal meine beispiele an, dann kannst du ja vielleicht eine neue behauptung hier äußern.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Savoyen |
> hi
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> > Ich üb grad etwas Mathe und habe hier einen Satz
> > Sind [mm]M_1 \subset \IR[/mm] und [mm]M_2 \subset \IR[/mm] nicht leer,
> [mm]M_1 \subset M_2[/mm]
> > und [mm]M_2[/mm] ist nach oben beschränkt, dann ist jede obere
> > Schranke von [mm]M_2[/mm] automatisch auch eine obere Schranke von
> > [mm]M_1.[/mm] Damit gilt sup [mm]M_2 \le[/mm] sup [mm]M_1[/mm]
>
> das sieht soweit gut aus.
Das war ja auch gegeben
>
> > Ich würde gerne die entsprechende Aussage für das Infimum
> > aufstellen. Aber hier ist der Wurm drin
> > trivial, dass gilt emptyset [mm]\not= M_1 \subset M_2, M_2[/mm]
> ist
> > nach unten beschränkt.
>
> naja, das kann man so nicht folgern, denn [mm]M_1 := [0,1][/mm] und
> [mm]M_2 := \mathbb{R}[/mm] erfüllen offenbar die bedingungen, aber
> [mm]M_2[/mm] ist ja nicht nach unten beschränkt. du solltest hier
> lieber eine aussage über die menge [mm]M_1[/mm] anstreben, da diese
> ja von [mm]M_2[/mm] "umgeben" wird...
DAnn muss [mm] M_1 [/mm] also nach unten beschränkt sein?
> > Dann inf [mm]M_1 \le[/mm] inf [mm]M_2.[/mm]
>
> betrachte [mm]M_1 := [0,1][/mm] und [mm]M_2 := [-1,2][/mm] was ist dann [mm]\inf M_1[/mm]
inf [mm] M_1 [/mm] = 0
inf [mm] M_2 [/mm] = -1
> und [mm]\inf M_2[/mm]? gilt die von dir aufgestellt behauptung?
Nein
>
> > Aber kann das sein? Ich habe in [mm]M_2 \le[/mm] sup [mm]M_1[/mm] und [mm]M_1 \le[/mm]
> > inf [mm]M_2.[/mm] ein [mm]\le[/mm] . Das sieht mir schon total nach
> > Widerspruch aus. Muss es beim Infimum dann doch [mm]\ge[/mm] heißen
> > oder was wäre die äquivalte Aussage?
> > Ihr würdet mir voll helfen, wenn ihr das hier mal
> > klarstellt
>
> da trügt dich dein gefühl nicht. schau dir mal meine
> beispiele an, dann kannst du ja vielleicht eine neue
> behauptung hier äußern.
Aber wenn ich das umdrehe zu inf [mm] M_1 \ge [/mm] inf [mm] M_2 [/mm] - das passt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Mo 08.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> DAnn muss [mm]M_1[/mm] also nach unten beschränkt sein?
ja, genau!
> > > Dann inf [mm]M_1 \le[/mm] inf [mm]M_2.[/mm]
> >
> > betrachte [mm]M_1 := [0,1][/mm] und [mm]M_2 := [-1,2][/mm] was ist dann [mm]\inf M_1[/mm]
>
> inf [mm]M_1[/mm] = 0
> inf [mm]M_2[/mm] = -1
gut!
> > da trügt dich dein gefühl nicht. schau dir mal meine
> > beispiele an, dann kannst du ja vielleicht eine neue
> > behauptung hier äußern.
>
> Aber wenn ich das umdrehe zu inf [mm]M_1 \ge[/mm] inf [mm]M_2[/mm] - das
> passt?
ja.
man kann die beiden aussagen auch aufeinander zurückführen indem man für eine menge $M [mm] \subseteq \mathbb{R}$ [/mm] setzt $-M := [mm] \{-x \in \mathbb{R}: x \in M \}$. [/mm] dann gilt nämlich $x = [mm] \sup [/mm] M [mm] \; \Longleftrightarrow \; [/mm] -x = [mm] \inf [/mm] (-M)$ und man kann sich dann leicht klarmachen, das sich die ungleichheitszeichen entsprehend verhalten, wie du das jetzt beschrieben hast. ich glaube aber nicht, dass das der leichteste zugang ist. wenn du einen beweis für die ursprüngliche aussage gegeben hast, kannst du diesen fast wörtlich übernehen, wenn du eben an den entsprechenden stellen auspasst und abänderst.
grüße
andreas
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