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Hallo liebes Matheraumteam!
Ich studiere seit diesem Semester Mathemathik auf Lehramt und habe daher eine Frage zu einer Freiübungsaufgabe. Es geht dabei um das Infimum und da ich mit dieser ganzen Infimum-Supremum-Problematik nicht gut klar komme wollte ich euch mal um Hilfe bitten.
Es seien [mm] p,q\in ]1,\infty[ [/mm] mit [mm] \bruch{1}{p}+\bruch{1}{q}=1 [/mm] und [mm] a,b\in ]0,\infty[. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] inf\{\bruch{t^{p}a^{p}}{p}+\bruch{b^{q}}{qt^{q}}| t\in]0,\infty[\} [/mm] = ab
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Di 08.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Sebsatian!
> Es seien [mm] p,q\in ]1,\infty[ [/mm] mit [mm] \bruch{1}{p}+\bruch{1}{q}=1 [/mm]
> und [mm] a,b\in ]0,\infty[. [/mm] Zeigen Sie:
>
> [mm] inf\{\bruch{t^{p}a^{p}}{p}+\bruch{b^{q}}{qt^{q}}|
> t\in]0,\infty[\} [/mm] = ab
Wir betrachten die Funktion
$f(t):= [mm] \frac{t^pa^p}{p} [/mm] + [mm] \frac{b^q}{qt^q}$
[/mm]
auf [mm] $]0,+\infty[$.
[/mm]
Wo hat diese Funktion ihr Minimum?
Wir leiten einfach mal ab:
$f'(t) =p [mm] \cdot t^{p-1} \cdot \frac{a^p}{p} [/mm] - q [mm] \cdot \frac{b^q}{q} \cdot t^{-q-1} [/mm] = [mm] t^{p-1} a^p [/mm] - [mm] b^q t^{-q-1}$.
[/mm]
Wann verschwindet diese Ableitung?
Aus
$0 = [mm] t^{p-1} a^p [/mm] - [mm] b^q t^{-q-1}$
[/mm]
folgt:
[mm] $t^{p-1}a^p [/mm] = [mm] t^{-q-1}b^q$,
[/mm]
also:
[mm] $t^{p+q} [/mm] = [mm] \frac{b^q}{a^p}$
[/mm]
und damit
$t = [mm] \sqrt[p+q]{\frac{p^q}{a^p}}$.
[/mm]
(Ich überlasse es dir zu zeigen, dass die tatsächlich ein Minimum ist.)
Nun setzen wir diesen Wert in die Funktion $f$ ein:
[mm]f( \sqrt[p+q]{\frac{b^q}{a^p}}) = \frac{a^p}{p} \cdot \left(\sqrt[p+q]{\frac{b^q}{a^p}} \right)^p +
\frac{b^q}{q} \cdot \left( \sqrt[p+q]{\frac{b^q}{a^p}}\right)^{-q}[/mm]
[mm] \frac{1}{p}\ a^{p - \frac{p^2}{p+q}}\ b^{\frac{pq}{p+q}} + \frac{1}{q}\ b^{q - \frac{q^2}{p+q}}\ a^{\frac{pq}{p+q}}[/mm]
[mm] \frac{1}{p}\ a^{\frac{pq}{p+q}}\ b^{\frac{pq}{p+q}} + \frac{1}{q}\ b^{\frac{pq}{p+q}}\ a^{\frac{pq}{p+q}}[/mm]
(beachte: [mm]\blue{pq = p+q}[/mm] wegen [mm]\blue{\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1}[/mm])
[mm]\frac{1}{p} ab + \frac{1}{q} ab[/mm]
(beachte wieder: [mm]\blue{\frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1}[/mm])
[mm]=ab[/mm],
was zu zeigen war.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Mi 09.06.2004 | | Autor: | SebastianM |
Ich Esel! Auf die Idee das abzuleiten bin ich überhaupt nicht gekommen. Manchmal hat man echt ein Brett vorm Kopf. Ich danke dir sehr für die schnelle Hilfe Julius, zu zeigen, das das auch tatsächlich ein Minimum kriege ich wohl gerade noch selber, denke ich,
Gruß Sebastian
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