Inh. DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:00 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
| Aufgabe | | [mm]y''+2y'+y=2*\sin x[/mm] |
Ich habe so angefangen:
[mm]y''+2y'+y=2*\sin x[/mm]
[mm]\gdw y''+2y'+y=0[/mm] und [mm]2*\sin x=?[/mm]
[mm]\gdw\lambda^2+2\lambda^1+\lambda^0=0[/mm]
[mm]\gdw\lambda^2+2\lambda+1=0[/mm]
[mm]\gdw\lambda_{\bruch{1}{2}}=-1[/mm]
[mm]\gdw\lambda^2+2\lambda+1=0[/mm]
[mm]\gdw[/mm] Fundamentalsystem: [mm]\{e^-x,x*e^-x\}[/mm]
So nun die Frage was man mit [mm]2*\sin x[/mm] anstellt?
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Hallo,
es jhandelt sich um eine inhomogene DGL mit konstanten Koeffizienten, und du hast ja per charakteristischer Gleichung eine homogene Lösung bereits bestimmt.
Für eine Störfunktion vom Typ c*sin(k*x) kannst du für eine partikuläre Lösung so ansetzen:
[mm] y_p=A*sin(kx)+B*cos(kx)
[/mm]
sofern k keine Lösung der charakteristischen Gleichung ist (was hier der Fall ist).
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:18 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> Hallo,
>
> es jhandelt sich um eine inhomogene DGL mit konstanten
> Koeffizienten, und du hast ja per charakteristischer
> Gleichung eine homogene Lösung bereits bestimmt.
>
> Für eine Störfunktion vom Typ c*sin(k*x) kannst du für
> eine partikuläre Lösung so ansetzen:
>
> [mm]y_p=A*sin(kx)+B*cos(kx)[/mm]
Okay danke dafür
> sofern k keine Lösung der charakteristischen Gleichung ist
> (was hier der Fall ist).
Das hab ich jetzt nicht verstanden. k darf nicht -1 sein? oder kann nicht? was hat das mit dem Ansatz [mm]y_p=A*sin(kx)+B*cos(kx)[/mm] zu tun?
Was macht ich jetzt mit diesem Ansatz? wie finde ich A,B und k?
Danke schön!
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Hallo!
Also k brauchst du nicht zu berechnen, denn dein Störfaktor lautet 2sin(x) (mit k=1)
Also du hast jetzt den Ansatz:
$ [mm] y_p=A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x) [/mm] $
Nun leitest du [mm] y_p [/mm] zweimal ab und setzt [mm] y_p, y_p' [/mm] und [mm] y_p'' [/mm] in deine Ausgangsdgl ein und kannst dann durch Koeffizientenvergleich A und B finden.
Die Lösung der Dgl besteht aus der homogenen Lösung plus der speziellen Lösung.
Gruß
TheBozz-mismo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> Hallo!
> Also k brauchst du nicht zu berechnen, denn dein
> Störfaktor lautet 2*sin(x) (mit k=1)
meinst du nicht [mm]k=-1[/mm]?
hmm, also:[mm]k=-1[/mm]
[mm]\gdw 2*sin(x)=A*\sin(-x)+B*\sin(-x)[/mm]
wie soll man jetzt herausbekommen was A und was B ist? Ich checks echt nicht.
> Nun leitest du $ [mm] y_p [/mm] $ zweimal ab und setzt $ [mm] y_p, y_p' [/mm] $ und $ [mm] y_p'' [/mm] in deine Ausgangsdgl ein $
Ja ableiten, aber was denn? [mm]2*sin(x)[/mm] oder [mm]A*\sin(-x)+B*\sin(-x)[/mm]?
Vielen Dank nochmal!
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Hallo!
Die DGL lautet y''+2y'+y=2sin(x)
Die homogene Lösung hast du ja schon bestimmt
[mm] y_{homogen}(x)=a*e^{-x}+b*x*e^{-x} [/mm] mit [mm] a,b\in \IR [/mm] als Konstanten
Nun zur speziellen Lösung:
Ansatz ist $ [mm] y_p=A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x) [/mm] $
[mm] y_p'=A*cos(x)-B*sin(x)
[/mm]
[mm] y_p''=-A*sin(x)-B*cos(x)
[/mm]
Nun setzen wir [mm] y_p [/mm] in die DGL ein:
[mm] -A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)
[/mm]
Und nun kannst du durch Koeffizientervergleich A und B bestimmen und bekommst du deine inhomogene Lösung
Gruß
TheBozz-mismo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> [mm]-A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>
> Und nun kannst du durch Koeffizientervergleich A und B
> bestimmen und bekommst du deine inhomogene Lösung
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
[mm]\gdw -A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
[mm]\gdw -3*B*cos(x)+2*A*cos(x)+B*cos(x)=2*sin(x)[/mm]
[mm]\gdw -3*B*cos(x)+2*A*cos(x)+B*cos(x)=2*sin(x)[/mm]
weiter komme ich nicht :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Di 27.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> >
> [mm]-A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
> >
> > Und nun kannst du durch Koeffizientervergleich A und B
> > bestimmen und bekommst du deine inhomogene Lösung
> >
> > Gruß
> > TheBozz-mismo
> [mm]\gdw -A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>
> [mm]\gdw -3*B*cos(x)+2*A*cos(x)+B*cos(x)=2*sin(x)[/mm]
Das stimmt nicht. Rechne nochmal.
FRED
> [mm]\gdw -3*B*cos(x)+2*A*cos(x)+B*cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>
> weiter komme ich nicht :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> > >
> >
> [mm]-A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
> > >
> > > Und nun kannst du durch Koeffizientervergleich A und B
> > > bestimmen und bekommst du deine inhomogene Lösung
> > >
> > > Gruß
> > > TheBozz-mismo
> > [mm]\gdw -A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw -3*B*cos(x)+2*A*cos(x)+B*cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>
>
> Das stimmt nicht. Rechne nochmal.
>
> FRED
> > [mm]\gdw -3*B*cos(x)+2*A*cos(x)+B*cos(x)=2*sin(x)[/mm]
> >
> > weiter komme ich nicht :(
>
Ja stimmt:
[mm]\gdw -A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
[mm]\gdw -A*sin(x)-B*cos(x)+2*A*cos(x)-2B*sin(x)+A*sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
[mm]\gdw 2*A*cos(x)-2B*sin(x)=2*sin(x)[/mm]
A muss also 0 sein und B=-1
Jetzt richtig oder?
So und jetzt irgendwie alles zusammenfügen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Di 27.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > >
> > >
> >
> [mm]-A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
> > > >
> > > > Und nun kannst du durch Koeffizientervergleich A und B
> > > > bestimmen und bekommst du deine inhomogene Lösung
> > > >
> > > > Gruß
> > > > TheBozz-mismo
> > > [mm]\gdw -A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\gdw -3*B*cos(x)+2*A*cos(x)+B*cos(x)=2*sin(x)[/mm]
> >
> >
> > Das stimmt nicht. Rechne nochmal.
> >
> > FRED
> > > [mm]\gdw -3*B*cos(x)+2*A*cos(x)+B*cos(x)=2*sin(x)[/mm]
> > >
> > > weiter komme ich nicht :(
> >
> Ja stimmt:
> [mm]\gdw -A*sin(x)-B*cos(x)+2*(A*cos(x)-B*sin(x))+A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>
> [mm]\gdw -A*sin(x)-B*cos(x)+2*A*cos(x)-2B*sin(x)+A*sin(x)+B\cdot{}cos(x)=2*sin(x)[/mm]
>
> [mm]\gdw 2*A*cos(x)-2B*sin(x)=2*sin(x)[/mm]
> A muss also 0 sein und
> B=-1
> Jetzt richtig oder?
Ja
FRED
> So und jetzt irgendwie alles zusammenfügen...
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> > [mm]\gdw 2*A*cos(x)-2B*sin(x)=2*sin(x)[/mm]
> > A muss also 0 sein und B=-1
> > Jetzt richtig oder?
>
> Ja
>
> FRED
> > So und jetzt irgendwie alles zusammenfügen...
nur wie? was ist genau die Lösung jetzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Di 27.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > [mm]\gdw 2*A*cos(x)-2B*sin(x)=2*sin(x)[/mm]
> > > A muss also 0
> sein und B=-1
> > > Jetzt richtig oder?
> >
> > Ja
> >
> > FRED
> > > So und jetzt irgendwie alles zusammenfügen...
> nur wie? was ist genau die Lösung jetzt?
Das wurde Dir doch schon gesagt :
allgemeine Lösung der DGL = allg. Lösung der homogenen Gl. + spezielle Lösung der inhomogenen Gl.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> Das wurde Dir doch schon gesagt :
>
> allgemeine Lösung der DGL = allg. Lösung der homogenen
> Gl. + spezielle Lösung der inhomogenen Gl.
>
> FRED
>
Stimmt ja, okay, dann also irgendwie so:
[mm]y(x)=e^-x+x*e^-x+2*A*\cos x -2*B*\sin x[/mm] ,mit A=0 und B=-1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Di 27.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Das wurde Dir doch schon gesagt :
> >
> > allgemeine Lösung der DGL = allg. Lösung der homogenen
> > Gl. + spezielle Lösung der inhomogenen Gl.
> >
> > FRED
> >
> Stimmt ja, okay, dann also irgendwie so:
> [mm]y(x)=e^-x+x*e^-x+2*A*\cos x -2*B*\sin x[/mm] ,mit A=0 und B=-1
Oh mann ist das eine schwere Geburt !
Nein so:
[mm] $y(x)=c_1e^x+c_2x*e^x-cos(x)$ (c_1,c_2 \in \IR)
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> > > Das wurde Dir doch schon gesagt :
> > >
> > > allgemeine Lösung der DGL = allg. Lösung der homogenen
> > > Gl. + spezielle Lösung der inhomogenen Gl.
> > >
> > > FRED
> > >
> > Stimmt ja, okay, dann also irgendwie so:
> > [mm]y(x)=e^-x+x*e^-x+2*A*\cos x -2*B*\sin x[/mm] ,mit A=0 und
> B=-1
>
> Oh mann ist das eine schwere Geburt !
Ja wirklich...hab auch schon seit Wochen kein Bock mehr auf den Krams, und würds am liebsten hinschmeißen. Aber heute letzte Klausur wenn ich es irgendwie bestehe.
> Nein so:
>
> [mm]y(x)=c_1e^\x+c_2x*e^\x-cos(x)[/mm] [mm](c_1,c_2 \in \IR)[/mm]
>
> FRED
mit minus oder? [mm]y(x)=c_1e^\red{-}x+c_2x*e^\red{-}x-cos(x)[/mm] [mm](c_1,c_2 \in \IR)[/mm]
woher kommt denn [mm]-cos(x)[/mm]?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Di 27.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > > Das wurde Dir doch schon gesagt :
> > > >
> > > > allgemeine Lösung der DGL = allg. Lösung der homogenen
> > > > Gl. + spezielle Lösung der inhomogenen Gl.
> > > >
> > > > FRED
> > > >
> > > Stimmt ja, okay, dann also irgendwie so:
> > > [mm]y(x)=e^-x+x*e^-x+2*A*\cos x -2*B*\sin x[/mm] ,mit A=0 und
> > B=-1
> >
> > Oh mann ist das eine schwere Geburt !
> Ja wirklich...hab auch schon seit Wochen kein Bock mehr
> auf den Krams, und würds am liebsten hinschmeißen. Aber
> heute letzte Klausur wenn ich es irgendwie bestehe.
> > Nein so:
> >
> > [mm]y(x)=c_1e^\x+c_2x*e^\x-cos(x)[/mm] [mm](c_1,c_2 \in \IR)[/mm]
> >
> > FRED
> mit minus oder?
Ja, da hab ich mich vertippt.
[mm]y(x)=c_1e^\red{-}x+c_2x*e^\red{-}x-cos(x)[/mm]
> [mm](c_1,c_2 \in \IR)[/mm]
> woher kommt denn [mm]-cos(x)[/mm]?
Ich glaub es nicht ! Hast Du denn nicht hier
https://matheraum.de/read?i=822898
festgestellt, dass -cos(x) ein spezielle Lösung der inhomogenen Gl. ist ? Doch, das hast Du.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> [mm]y(x)=c_1e^\red{-}x+c_2x*e^\red{-}x-cos(x)[/mm]
> > [mm](c_1,c_2 \in \IR)[/mm]
> > woher kommt denn [mm]-cos(x)[/mm]?
>
> Ich glaub es nicht ! Hast Du denn nicht hier
>
> https://matheraum.de/read?i=822898
>
> festgestellt, dass -cos(x) ein spezielle Lösung der
> inhomogenen Gl. ist ? Doch, das hast Du.
>
> FRED
Ich habe das hier geschrieben:
> [mm] [mm] \gdw 2\cdot{}A\cdot{}cos(x)-2B\cdot{}sin(x)=2\cdot{}sin(x)[/mm] [mm]
> A muss also 0 sein und B=-1
Wo steht da jetzt das -cos(x) eine spezielle Lösung ist? Tut mir wirklich leid, ich mache das nicht mit Absicht, ich weiß es wirklich nicht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Di 27.09.2011 | | Autor: | fred97 |
Das war doch Dein Ansatz für eine spezielle Lösung:
$ [mm] y_p=A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x) [/mm] $
Was erhältst Du für A=0 und B=-1 ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> Das war doch Dein Ansatz für eine spezielle Lösung:
>
> [mm]y_p=A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)[/mm]
>
> Was erhältst Du für A=0 und B=-1 ?
>
> FRED
[ '-_-] oben einsetzen quasi...
ja ok, jetzt ists klar. wusste ja nicht das ich A=0 und B=-1 noch oben einsetzen muss
Danke FRED, bist super
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Di 27.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Das war doch Dein Ansatz für eine spezielle Lösung:
> >
> > [mm]y_p=A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)[/mm]
> >
> > Was erhältst Du für A=0 und B=-1 ?
> >
> > FRED
> [ '-_-] oben einsetzen quasi...
> ja ok, jetzt ists klar. wusste ja nicht das ich A=0 und
> B=-1 noch oben einsetzen muss
Was hast Du gedacht. Du kannst mit den beiden auch spazieren gehen oder Dich volllaufen lassen ...
> Danke FRED, bist super
Danke
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> > > Das war doch Dein Ansatz für eine spezielle Lösung:
> > >
> > > [mm]y_p=A\cdot{}sin(x)+B\cdot{}cos(x)[/mm]
> > >
> > > Was erhältst Du für A=0 und B=-1 ?
> > >
> > > FRED
> > [ '-_-] oben einsetzen quasi...
> > ja ok, jetzt ists klar. wusste ja nicht das ich A=0
> und
> > B=-1 noch oben einsetzen muss
>
> Was hast Du gedacht. Du kannst mit den beiden auch
> spazieren gehen oder Dich volllaufen lassen ...
> > Danke FRED, bist super
>
>
> Danke
>
> FRED
>
Ich dachte das sei die Lösung, wie bei [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2}
[/mm]
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Hallo,
der Ansatz gilt nur, wenn der Faktor im Sinus bzw. Kosinus vor dem x nicht Lösung der charakteristischen Gleichung ist. Das muss ich dir ja dazuschreiben, auch wenn es hier keine Rolle spielt!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Di 27.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> Hallo,
>
> der Ansatz gilt nur, wenn der Faktor im Sinus bzw. Kosinus
> vor dem x nicht Lösung der charakteristischen Gleichung
> ist. Das muss ich dir ja dazuschreiben, auch wenn es hier
> keine Rolle spielt!
>
> Gruß, Diophant
aber -1 ist doch Lösung der charakteristischen Gleichung, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 Di 27.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > der Ansatz gilt nur, wenn der Faktor im Sinus bzw. Kosinus
> > vor dem x nicht Lösung der charakteristischen Gleichung
> > ist. Das muss ich dir ja dazuschreiben, auch wenn es hier
> > keine Rolle spielt!
> >
> > Gruß, Diophant
> aber -1 ist doch Lösung der charakteristischen Gleichung,
> oder?
Ja
FRED
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Hallo,
> aber -1 ist doch Lösung der charakteristischen Gleichung,
> oder?
aber [mm] k\not=-1 [/mm] 
Gruß, Diophant
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