Inh. GLS mit Parameter lösen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Mi 11.07.2007 | | Autor: | vh4 |
| Aufgabe | Lösen des GLS in Abhängigkeit vom reellen Parameter k:
2x + z = 4
4x + 2y - z = 9
2x - 2ky + (k²+1)z = 1 |
Hallo,
ich habe versucht das mit Gauß-Schema zu lösen, schaffe es aber nur in der ersten Spalte 2 Werte auf 0 zu bringen und komme dann nicht weiter.
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 2k & k^{2}} \pmat{ 4 \\ 1 \\ -3 }
[/mm]
Aber selbst wenn ich weiter komme weiß ich nicht genau wie ich mit dem k² weiter umgehen soll.
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo vh4,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Zum einen erhalte ich hier: [mm]\pmat{ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -\red{3} \\ 0 & \red{-} \ 2k & k^{2}} \pmat{ 4 \\ 1 \\ -3 }[/mm]
Und nun multipliziere die 2. Zeile mal mit $k \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ und addiere das Ergebnis mit der 3. Zeile.
Den Sonderfall $k \ = \ 0$ musst Du dann nochmals separat untersuchen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo FHTuning!
Versuch es doch mal mit dem Gauß-Eliminationsverfahren
Hier zur Kontrolle meine Lösungen:
a) x1=0 x2=0 x3=0 x4=0
b) x1=-5/3 x2=5/6 x3=-1 x4=-5/6
Grüße Martha.
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Hallo vh4!
Lösung:keine Lösung für k=-sqrt(3) und k=sqrt(3)
sonst :x=1/2*(4*k-1)/k y=1/2*(k+3)/k z=1/k
Grüße Martha.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mi 11.07.2007 | | Autor: | vh4 |
Mit dem Tipp bzw. der Korrektur meiner Rechnung durch "Roadrunner" habe ich dann alles durchrechnen können und bin auch auf Deine Ergebnisse gekommen.
Allerdings kann ich gerade nicht nachvollziehen warum es für +/- wurzel(3) keine Lösung gibt. Vielleicht kannst Du mir da nochmal helfen.
Vielen Dank schon mal an euch für die Hilfe!!
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Hallo vh4,
lass mich das der Übersicht wegen nochmal zusammenfassen:
Also das Ausgangsproblem war es - abhängig von k - die Lösung von
[mm] \pmat{ 2&0&1 &|& 4 \\ 4 & 2 &-1&|& 9 \\ 2 & -2k &k^2+1&|& 1} [/mm] zu bestimmen
Ohne Einschränkungen für k konnte das umgeformt werden zu:
(die Einschränkung [mm] k\ne [/mm] 0 in Roadrunners post war nicht nötig)
[mm] \pmat{ 2&0&1 &|& 4 \\ 0 & 2 &-3&|& 1 \\ 0 & 0 &k^2-3k&|& k-3} [/mm] bzw. [mm] \pmat{ 2&0&1 &|& 4 \\ 0 & 2 &-3&|& 1 \\ 0 & 0 &k(k-3)&|& k-3}
[/mm]
So, hier erst müssen wir innehalten und mal sehen, was hier überhaupt los ist:
Also zuerst kann man für [mm] $k\ne [/mm] 0$ [mm] \underline{und} $k\ne [/mm] 3$ in der letzten Zeile durch [mm] $k(k-3)\ne [/mm] 0$ teilen.
Also [mm] \emph{1.Fall}: $k\ne [/mm] 0 [mm] \wedge k\ne [/mm] 3$
Dann ist mit Zeile3: [mm] x_3=\frac{k-3}{k(k-3)}=\frac{1}{k}
[/mm]
Mit Zeile 2 und 1 kannst du dann die Lösungen für [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] bestimmen
[mm] \Rightarrow...\Rightarrow x_1=2-\frac{1}{2k}, x_2=\frac{1}{2}+\frac{3}{2k}
[/mm]
In diesem Falle gibt's also eine [mm] \underline{eindeutige} [/mm] Lösung für das LGS
Bleiben die Fälle k=0 oder k=3 zu betrachten:
[mm] \emph{2.Fall}: [/mm] $k=0$
Dann vereinfacht sich [mm] \pmat{ 2&0&1 &|& 4 \\ 0 & 2 &-3&|& 1 \\ 0 & 0 &k(k-3)&|& k-3} [/mm] zu [mm] \pmat{ 2&0&1 &|& 4 \\ 0 & 2 &-3&|& 1 \\ 0 & 0 &0&|& -3}
[/mm]
Also steht in der 3Zeile 0=-3 , also grober Unfug, dh. in diesem Falle gibt's [mm] \underline{keine} [/mm] Lösung
[mm] \emph{3.Fall}: [/mm] $k=3$
Dann vereinfacht sich [mm] \pmat{ 2&0&1 &|& 4 \\ 0 & 2 &-3&|& 1 \\ 0 & 0 &k(k-3)&|& k-3} [/mm] zu [mm] \pmat{ 2&0&1 &|& 4 \\ 0 & 2 &-3&|& 1 \\ 0 & 0 &0&|& 0}
[/mm]
Die 3. Zeile ist also Nullzeile, dh. es gibt unendlich viele Lösungen, du hast ja eine frei wählbare Lösungsvariable, zB. [mm] x_3=t [/mm] mit [mm] t\in\IR
[/mm]
Damit kannst du dann mit den Zeilen 1 und 2 die Lösungen für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] (in Abh. von t) berechnen
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Do 12.07.2007 | | Autor: | vh4 |
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung. So hilft das hoffentlich auch anderen mit ähnlichen Aufgabenstellungen.
Gruß
vh4
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