Inho. lin. Diff.Gl. 2.Ord. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Di 04.08.2009 | | Autor: | LowBob |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung für folgende Differentialgleichung:
[mm] \bruch{y''}{2}-y'+y=e^{x}\*sin(x)
[/mm]
Lösung: [mm] y=e^x\*[C_1\*sin(x)+C_2\*cos(x)-x\*cos(x)] [/mm] |
Hallo,
ich habe das Ganze erstmal umgeformt:
[mm] y''-2y'+2y=2\*e^{x}\*sin(x)
[/mm]
Dann habe ich mittels Exponentialansatz [mm] y=e^{\lambda x}
[/mm]
für [mm] \lambda_{1,2}=1\pm{j1} [/mm] bekommen
und mit [mm] \alpha{=1} [/mm] und [mm] \omega{=1}
[/mm]
die Allgemeine Lösung [mm] y_0=e^x\*[C_1\*sin(x)+C_2\*cos(x)]
[/mm]
Allerdings weiß ich wirklich nicht was ich mit [mm] g(x)=2\*e^{x}\*sin(x) [/mm] anstellen soll...
Mein Buch macht den Vorschlag das in [mm] g_1(x) [/mm] und [mm] g_2(x) [/mm] zu splitten und die jeweiligen Ansätze zu multiplizieren.
Aber mit [mm] g(x)=e^{cx} [/mm] gehts bei mir schon los.
1) Was ist c? In meinem Fall einfach 1?
2) Woher weiß ich, ob das keine/eine/doppelte Lösung der charakteristischen Gleichung ist?
3) c einfach in [mm] \lambda [/mm] einsetzen?
4) Wären meine Ansätze also einfach:
[mm] y_p=e^{cx}\*[A\*sin(\beta{x})+B\*cos(\beta{x})]
[/mm]
bzw [mm] y_p=x\*e^{cx}\*[A\*sin(\beta{x})+B\*cos(\beta{x})]
[/mm]
Gruß
LowBob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Di 04.08.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung für folgende
> Differentialgleichung:
>
> [mm]\bruch{y''}{2}-y'+y=e^{x}\*sin(x)[/mm]
>
> Lösung: [mm]y=e^x\*[C_1\*sin(x)+C_2\*cos(x)-x\*cos(x)][/mm]
> Hallo,
>
> ich habe das Ganze erstmal umgeformt:
>
> [mm]y''-2y'+2y=2\*e^{x}\*sin(x)[/mm]
>
> Dann habe ich mittels Exponentialansatz [mm]y=e^{\lambda x}[/mm]
>
> für [mm]\lambda_{1,2}=1\pm{j1}[/mm] bekommen
>
> und mit [mm]\alpha{=1}[/mm] und [mm]\omega{=1}[/mm]
>
> die Allgemeine Lösung [mm]y_0=e^x\*[C_1\*sin(x)+C_2\*cos(x)][/mm]
>
Das stimmt ja schonmal mit der Lösung überein!
> Allerdings weiß ich wirklich nicht was ich mit
> [mm]g(x)=2\*e^{x}\*sin(x)[/mm] anstellen soll...
>
> Mein Buch macht den Vorschlag das in [mm]g_1(x)[/mm] und [mm]g_2(x)[/mm] zu
> splitten und die jeweiligen Ansätze zu multiplizieren.
>
Das stimmt, wenn bei der Störfunktion auch die Funktionen multipliziert wurden(wie hier), dann werden auch die beiden Ansätze dieser beiden Funktionen multipliziert. Bei einer Addition addiert.
> Aber mit [mm]g(x)=e^{cx}[/mm] gehts bei mir schon los.
> 1) Was ist c? In meinem Fall einfach 1?
Ja
Wenn du eine Störfunktion hast:
[mm] g(x)=e^{c*x}*sin(\omega*x) [/mm] oder [mm] g(x)=e^{c*x}*cos(\omega*x)
[/mm]
dann Ansatz: [mm] y_{p}=e^{c*x}*(A*sin(\omega*x)+B*cos(\omega*x))
[/mm]
Wenn jetzt aber in der Homogenen Teillösung:
[mm] e^{c*x}*sin(\omega*x) [/mm] oder [mm] e^{c*x}*cos(\omega*x) [/mm] vorkommen, wie hier, dann musst du den Ansatz:(das bedeutet, dass [mm] c=Re(\lambda))
[/mm]
[mm] y_{p}=x*e^{c*x}*(A*sin(\omega*x)+B*cos(\omega*x)) [/mm] verwenden.
> 2) Woher weiß ich, ob das keine/eine/doppelte Lösung der
> charakteristischen Gleichung ist?
Das kann man toll über das Einsetzen herausbekommen!
> 3) c einfach in [mm]\lambda[/mm] einsetzen?
>
Das verstehe ich nicht! Oben habe ich es versucht zu erklären, hoffe es ist deutlich geworden. [mm] (c=Re(\lambda))
[/mm]
> 4) Wären meine Ansätze also einfach:
>
> [mm]y_p=e^{cx}\*[A\*sin(\beta{x})+B\*cos(\beta{x})][/mm]
>
Nein!
> bzw [mm]y_p=x\*e^{cx}\*[A\*sin(\beta{x})+B\*cos(\beta{x})][/mm]
>
Ja!
> Gruß
>
> LowBob
Lg xPae
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Mi 05.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Hallo,
Danke für die Antwort. Das hat mir schonmal sehr geholfen!
Aber nochmal im Detail wegen der Bergrifflichkeiten.
meine Charakteristische Gleichung lautet: [mm] \lambda^{2}-2\lambda+2=0
[/mm]
Wenn ich also sage [mm] \lambda=c=1 \Rightarrow 1^{2}-2\*1+2=0 \Rightarrow1=0 \Rightarrow [/mm] keine Lösung ???
Dann sollte ich laut meinem Buch allerdings den Ansatz [mm] y_p=e^{cx} [/mm] nehmen.
Oder ist mit der charakteristischen Gleichung der Lösungsansatz gemeint?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Mi 05.08.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Danke für die Antwort. Das hat mir schonmal sehr
> geholfen!
>
> Aber nochmal im Detail wegen der Bergrifflichkeiten.
>
> meine Charakteristische Gleichung lautet:
> [mm]\lambda^{2}-2\lambda+2=0[/mm]
>
> Wenn ich also sage [mm]\lambda=c=1 \Rightarrow 1^{2}-2\*1+2=0 \Rightarrow1=0 \Rightarrow[/mm]
> keine Lösung ???
> Dann sollte ich laut meinem Buch allerdings den Ansatz
> [mm]y_p=e^{cx}[/mm] nehmen.
>
> Oder ist mit der charakteristischen Gleichung der
> Lösungsansatz gemeint?
Nein.
charakteristischen Gleichung: $ [mm] \lambda^{2}-2\lambda+2=0 [/mm] $
FRED
>
> Gruß
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Mi 05.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Hallo,
> Wenn du eine Störfunktion hast:
>
> [mm]g(x)=e^{c*x}*sin(\omega*x)[/mm] oder [mm]g(x)=e^{c*x}*cos(\omega*x)[/mm]
>
> dann Ansatz:
> [mm]y_{p}=e^{c*x}*(A*sin(\omega*x)+B*cos(\omega*x))[/mm]
>
> Wenn jetzt aber in der Homogenen Teillösung:
>
> [mm]e^{c*x}*sin(\omega*x)[/mm] oder [mm]e^{c*x}*cos(\omega*x)[/mm] vorkommen,
> wie hier, dann musst du den Ansatz:(das bedeutet, dass
> [mm]c=Re(\lambda))[/mm]
>
> [mm]y_{p}=x*e^{c*x}*(A*sin(\omega*x)+B*cos(\omega*x))[/mm]
> verwenden.
Also, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann setzte ich C immer erstmal für [mm] \lambda [/mm] ein um herauszufinden ob c lösung ist. Da das in diesem falle nicht so ist, müsste ich eigentlich diesen Ansatz verwenden.
[mm]y_p=e^{cx}\*[A\*sin(\beta{x})+B\*cos(\beta{x})][/mm]
Da aber [mm]e^{c*x}*sin(\omega*x)[/mm] oder [mm]e^{c*x}*cos(\omega*x)[/mm] in der homogenen allgemeinen Lösung vorkommen muss ich diesen nehmen???
[mm]y_p=x\*e^{cx}\*[A\*sin(\beta{x})+B\*cos(\beta{x})][/mm]
Ich finde das sehr verwirrend zumal in meinem Buch zu solchen Fällen keine klaren Angaben gemacht werden und mein Übungsbuch sich um das Thema ganz herum drückt...
Wenn mir das bitte nochmal jemand für dummies erklären könnte wäre ich sehr dankbar!
lg
Bob
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Mi 05.08.2009 | | Autor: | xPae |
> Hallo,
>
>
> > Wenn du eine Störfunktion hast:
> >
> > [mm]g(x)=e^{c*x}*sin(\omega*x)[/mm] oder [mm]g(x)=e^{c*x}*cos(\omega*x)[/mm]
> >
> > dann Ansatz:
> > [mm]y_{p}=e^{c*x}*(A*sin(\omega*x)+B*cos(\omega*x))[/mm]
> >
> > Wenn jetzt aber in der Homogenen Teillösung:
> >
> > [mm]e^{c*x}*sin(\omega*x)[/mm] oder [mm]e^{c*x}*cos(\omega*x)[/mm] vorkommen,
> > wie hier, dann musst du den Ansatz:(das bedeutet, dass
> > [mm]c=Re(\lambda))[/mm]
> >
> > [mm]y_{p}=x*e^{c*x}*(A*sin(\omega*x)+B*cos(\omega*x))[/mm]
> > verwenden.
>
> Also, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann
> setzte ich C immer erstmal für [mm]\lambda[/mm] ein um
> herauszufinden ob c lösung ist. Da das in diesem falle
> nicht so ist, müsste ich eigentlich diesen Ansatz
> verwenden.
>
Hallo,
das hast du noch nicht richtig verstanden! das c "ist in" der Störfunktion enthalten.
Und wenn das c einer Lösung von Lambda entspricht, dann muss man den Ansatz der Störfunktion mit x multiplizieren, da sonst der Ansatz der homogenen Teillösung entsprechen würden.
Siehe dir ![[]](/images/popup.gif) dies mal an.
> [mm]y_p=e^{cx}\*[A\*sin(\beta{x})+B\*cos(\beta{x})][/mm]
>
> Da aber [mm]e^{c*x}*sin(\omega*x)[/mm] oder [mm]e^{c*x}*cos(\omega*x)[/mm] in
> der homogenen allgemeinen Lösung vorkommen muss ich diesen
> nehmen???
>
Jap!
> [mm]y_p=x\*e^{cx}\*[A\*sin(\beta{x})+B\*cos(\beta{x})][/mm]
>
> Ich finde das sehr verwirrend zumal in meinem Buch zu
> solchen Fällen keine klaren Angaben gemacht werden und
> mein Übungsbuch sich um das Thema ganz herum drückt...
>
> Wenn mir das bitte nochmal jemand für dummies erklären
> könnte wäre ich sehr dankbar!
>
Schau auf der Seite , die ich dir geschickt habe mal rum. Hoffe durch die Skripte wird es klarer, sonst nochmal melden!
> lg
>
> Bob
lg xpae
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Mi 05.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Danke!
Der Link ist super!
Da stehen ja praktisch alle Ausnahmen drinn!
Manchmal frage ich mich warum manche Bücher/Proffessoren es einem immer so schwer machen müssen...
Viele Grüße
Bob
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Mi 05.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast eine Loesung des inhomogenen Systems.
auf der rechten seite gibt es 2 Moeglichkeiten:
a) da steht ein Ausdruck, der nicht in deiner homogenen Losung steht. also homogene Loesung [mm] e^{ax}*(c1sin(bx)+C2cos(bx)
[/mm]
und rechts steht [mm] e^{cx}"cos(dx) c\nea, d\neb
[/mm]
dann ist der Ansatz [mm] y_p=e^{cx}*(Acos(dx)+bsin(dx)) [/mm] der reichtige.
b) rechts steht ein Ausdruck, der schon Loesung der homogenen Dgl ist. wenn du jetzt den ansatz genauso machst, weisst du doch schon, dass beim Einsetzen des Ansatzes, -weil er ja Loesg des hom. Problems ist 0 rauskommt und sicher nicht deine rechte Seite.
Deshalb muss jetzt dein Ansatz mit x multipliziert werden, wie es in den vorigen posts steht.
Wenns dich nicht ueberzeugt, nimm deinen urspruenglichen ansatz, und stell fest, dass du nix rauskriegst. Dann den vorgeschlagenen und du siehst das Ergebnis.
man sollte einfach auch mal losrechnen, und sich ueberzeugen, dass was funktioniert (oder nicht) dann sieht man eher, woran das liegt, und es geht oft schneller als viel Theorie zu lesen,
Gruss leduart
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