Inhom. lin. Dglsyst. 1.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Do 11.08.2011 | | Autor: | Glava |
| Aufgabe | [mm] \underline{y'}(x)=\pmat{ \bruch{-1}{x(1+x^{2}} & \bruch{1}{x^{2}(1+x^{2}} \\ \bruch{-x}{1+x^{2}} & \bruch{1+2x^{2}}{x(1+x^{2}} }\underline{y}(x)+\vektor{\bruch{1}{x} \\ 1}
[/mm]
mit Lösungen: [mm] \underline{y_1}=\vektor{ 1 \\ x} [/mm] & [mm] \underline{y_2}=\vektor{\bruch{-1}{x^{2}} \\ x^{2}} [/mm] |
So nun soll ich durch Einsetzen in die Differentialgleichung sehen, dass die Lösungen die Differentialgleichung lösen...
Meine Frage bezieht sich nicht auf die lineare Unabhängigkeit. Die kann man ja relativ schnell durch die Wronski-Determinante nachweisen.
Mich interessiert, wie ich durch Einsetzen sehen kann, dass die Lösungen wirklich Lösungen sind? Wo muss ich das Einsetzen?
Muss ich die beiden Lösungen als Matrize für [mm] \underline{y}(x) [/mm] einsetzen und dann die Matrizen multiplizieren?
Ich verstehs nicht so ganz...
Kann mir das kurz jemand erläutern?
Danke euch sehr...
Gruß Mario
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Glava,
> [mm]\underline{y'}(x)=\pmat{ \bruch{-1}{x(1+x^{2}} & \bruch{1}{x^{2}(1+x^{2}} \\ \bruch{-x}{1+x^{2}} & \bruch{1+2x^{2}}{x(1+x^{2}} }\underline{y}(x)+\vektor{\bruch{1}{x} \\ 1}[/mm]
>
> mit Lösungen: [mm]\underline{y_1}=\vektor{ 1 \\ x}[/mm] &
> [mm]\underline{y_2}=\vektor{\bruch{-1}{x^{2}} \\ x^{2}}[/mm]
> So nun
> soll ich durch Einsetzen in die Differentialgleichung
> sehen, dass die Lösungen die Differentialgleichung
> lösen...
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> Meine Frage bezieht sich nicht auf die lineare
> Unabhängigkeit. Die kann man ja relativ schnell durch die
> Wronski-Determinante nachweisen.
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> Mich interessiert, wie ich durch Einsetzen sehen kann, dass
> die Lösungen wirklich Lösungen sind? Wo muss ich das
> Einsetzen?
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> Muss ich die beiden Lösungen als Matrize für
> [mm]\underline{y}(x)[/mm] einsetzen und dann die Matrizen
> multiplizieren?
Für jede Lösung überprüfst Du, daß diese wirklich due DGL löst.
Demnach mußt Du zeigen, daß
[mm]\underline{y_{1}'}(x)=\pmat{ \bruch{-1}{x(1+x^{2}} & \bruch{1}{x^{2}(1+x^{2}} \\ \bruch{-x}{1+x^{2}} & \bruch{1+2x^{2}}{x(1+x^{2}} }\underline{y_{1}}(x)+\vektor{\bruch{1}{x} \\ 1}[/mm]
Für die 2. Lösung [mm]\underline{y_{2}}[/mm] analog.
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> Ich verstehs nicht so ganz...
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> Kann mir das kurz jemand erläutern?
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> Danke euch sehr...
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> Gruß Mario
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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