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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Sa 06.06.2009 | | Autor: | Wichi20 |
| Aufgabe | | y'' + y' = 2 cos x |
Moin,
ich habe bzgl der Aufgabe die allgm. Lösung für die homogene DGL bestimmt für f(x)=0 . Da bekomme ich [mm] \lambda_{1}= [/mm] i und [mm] \lambda_{2}=-i [/mm] heraus also
y(x) = [mm] c_{1}*cos(x)+c_{2}*sin(x)
[/mm]
nun weiß ich aber nicht weiter, wie der nächste Schritt aussehen muss. Also was mit dem f(x) = 2cosx passiert!
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Hallo,
> y'' + y' = 2 cos x
> Moin,
>
> ich habe bzgl der Aufgabe die allgm. Lösung für die
> homogene DGL bestimmt für f(x)=0 . Da bekomme ich
> [mm]\lambda_{1}=[/mm] i und [mm]\lambda_{2}=-i[/mm] heraus also
>
> y(x) = [mm]c_{1}*cos(x)+c_{2}*sin(x)[/mm]
Ich habe [mm] \lambda_1=0 [/mm] und [mm] \lambda_2=-1 [/mm] ;
somit [mm] $y_h=C_1+C_2*e^{-x}$ [/mm] .
Nun eine partikuläre Lösung bestimmen:
Ansatz: [mm] $y_p=A*sin(x)+B*cos(x)$
[/mm]
Zweimal ableiten und in die inhomogene DGL einsetzen.
> nun weiß ich aber nicht weiter, wie der nächste Schritt
> aussehen muss. Also was mit dem f(x) = 2cosx passiert!
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 So 07.06.2009 | | Autor: | Wichi20 |
> Hallo,
>
> > y'' + y' = 2 cos x
> > Moin,
> >
> > ich habe bzgl der Aufgabe die allgm. Lösung für die
> > homogene DGL bestimmt für f(x)=0 . Da bekomme ich
> > [mm]\lambda_{1}=[/mm] i und [mm]\lambda_{2}=-i[/mm] heraus also
> >
> > y(x) = [mm]c_{1}*cos(x)+c_{2}*sin(x)[/mm]
>
>
>
> Ich habe [mm]\lambda_1=0[/mm] und [mm]\lambda_2=-1[/mm] ;
Ja du hast Recht ^^. ich hab die ganze Zeit gedacht da steht [mm] \lambda²+1 [/mm] = 0 :/
> somit [mm]y_h=C_1+C_2*e^{-x}[/mm] .
>
> Nun eine partikuläre Lösung bestimmen:
>
> Ansatz: [mm]y_p=A*sin(x)+B*cos(x)[/mm]
>
> Zweimal ableiten und in die inhomogene DGL einsetzen.
Kannst du mir den Ansatz nochmal erklären, weil ich werde aus dem Skript an dieser Stelle nicht besonders schlau. Wenn ich das ableite bekomme ich y'= A*cos (x) - B*sin(x) und y'' = -A*sin(x) - B*cos(x) und das setze ich in die Ausgangsgleichung ein ? also y''+y'=2cos(x) und was passiert mit der allg. Lösung für die homogene Gleichung?
>
>
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> > nun weiß ich aber nicht weiter, wie der nächste Schritt
> > aussehen muss. Also was mit dem f(x) = 2cosx passiert!
>
>
> LG, Martinius
Danke soweit :)
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Hallo Wichi20,
> > Hallo,
> >
> > > y'' + y' = 2 cos x
> > > Moin,
> > >
> > > ich habe bzgl der Aufgabe die allgm. Lösung für die
> > > homogene DGL bestimmt für f(x)=0 . Da bekomme ich
> > > [mm]\lambda_{1}=[/mm] i und [mm]\lambda_{2}=-i[/mm] heraus also
> > >
> > > y(x) = [mm]c_{1}*cos(x)+c_{2}*sin(x)[/mm]
> >
> >
> >
> > Ich habe [mm]\lambda_1=0[/mm] und [mm]\lambda_2=-1[/mm] ;
>
>
> Ja du hast Recht ^^. ich hab die ganze Zeit gedacht da
> steht [mm]\lambda²+1[/mm] = 0 :/
>
>
> > somit [mm]y_h=C_1+C_2*e^{-x}[/mm] .
> >
> > Nun eine partikuläre Lösung bestimmen:
> >
> > Ansatz: [mm]y_p=A*sin(x)+B*cos(x)[/mm]
> >
> > Zweimal ableiten und in die inhomogene DGL einsetzen.
>
> Kannst du mir den Ansatz nochmal erklären, weil ich werde
> aus dem Skript an dieser Stelle nicht besonders schlau.
Schaue doch mal ![[]](/images/popup.gif) dort vorbei, da steht eine ganze Reihe an Ansätzen für div. Störfunktionen mit gerechneten Bspen. Vllt. Hilft das schon ...
> Wenn ich das ableite bekomme ich y'= A*cos (x) - B*sin(x) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und y'' = -A*sin(x) - B*cos(x) und das setze ich in die
> Ausgangsgleichung ein ? also y''+y'=2cos(x) und was
> passiert mit der allg. Lösung für die homogene Gleichung?
Die allg. Lösung $y(x)$ setzt sich zusammen aus [mm] $y_{hom}(x)+y_{part}(x)=:y(x)$
[/mm]
Durch das obige Einsetzen von [mm] $y_{part}''(x)+y_{part}'(x)=2\cos(x)$ [/mm] bekommst du zwei Bestimmungsgleichungen für $A, B$, die du damit eindeutig bestimmen kannst.
Die vollst. Lösung setzt du wie oben dann zusammen ...
> >
> >
> >
> > > nun weiß ich aber nicht weiter, wie der nächste Schritt
> > > aussehen muss. Also was mit dem f(x) = 2cosx passiert!
Wie gesagt, setze [mm] $y_{part}''(x)+y_{part}'(x)=2\cos(x)$ [/mm] ein, das liefert dir durch Koeffizientenvergleich mit [mm] $\red{2}\cos(x)$ [/mm] ein LGS mit 2 Gleicungen, um $A, B$ zu berechnen.
> >
> >
> > LG, Martinius
>
> Danke soweit :)
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 So 07.06.2009 | | Autor: | Wichi20 |
Problem : Ich hatte mich bei der Aufgabe verschrieben , es muss heissen Y''+Y=2cos(x) und darum auch die Nullstellen i und -i ^^. Wenn ich das jetzt alles so mache bei der partikulären Lösung fallen aber die Terme weg und da steht nur noch 0 = 2cos(x) sind A und B dann null?
Danke soweit :)
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Hallo Wichi20,
> Problem : Ich hatte mich bei der Aufgabe verschrieben , es
> muss heissen Y''+Y=2cos(x) und darum auch die Nullstellen i
> und -i ^^. Wenn ich das jetzt alles so mache bei der
> partikulären Lösung fallen aber die Terme weg und da steht
> nur noch 0 = 2cos(x) sind A und B dann null?
Das ist dann nicht der richtige Ansatz.
Da hier [mm]\cos\left(x\right)[/mm] eine Lösung der homogenen DGL ist,
lautet hier der Ansatz:
[mm]y_{p}=x*\left( \ A*\sin\left(x\right)+B*\cos\left(x\right) \ \right)[/mm]
>
> Danke soweit :)
Gruß
MathePower
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