Inhomogene DGL 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 So 16.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Lösen Sie die Differentialgleichung [mm] y^{,}=\bruch{2}{x}y+x^{2}+1 [/mm] für [mm] x\not=0.
[/mm]
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Ich würde gerne wissen, ob mein nachfolgender Lösungsvorschlag stimmt, bzw. wie man die Richtigkeit einer Lösung prüfen kann:
1.) Zunächst stelle ich die Gleichung nach der Form [mm] y^{,}+a(x)y=r(x) [/mm] und erhalte somit [mm] y^{,}-\bruch{2}{x}y=x^{2}+1
[/mm]
2.) Die Gesamtlösung ist [mm] y=y_{S}+y_{H}, [/mm] wobei [mm] y_{H} [/mm] die Gesamtlösung der homogenen DGL [mm] y^{,}+a(x)y=0 [/mm] und [mm] y_{S} [/mm] eine (spezielle) Lösung der inhomogenen DGL [mm] y^{,}+a(x)y=r(x) [/mm] ist.
3.) [mm] y_{H}=ce^{-A(x)}, A(x)=\integral_{}^{}{a(x) dx} [/mm] liefert:
[mm] y_{H}=ce^{2ln|x|-c}
[/mm]
[mm] =c\bruch{x^{2}}{e^{c}}, [/mm] mit [mm] c\in\IR
[/mm]
4.) [mm] y_{S}=e^{-A(x)}\integral_{}^{}{r(x)e^{A(x)} dx} [/mm] liefert:
[mm] y_{S}=e^{2ln|x|-c}\integral_{}^{}{(x^{2}+1)e^{-2ln|x|+c}dx}=x^{3}-x+x^{2}c
[/mm]
5.) [mm] y=y_{H}+y_{S} [/mm] liefert:
[mm] y(x)=(\bruch{cx}{e^{c}}+x^{2}-1+cx)x
[/mm]
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand eventuelle Fehler aufzeigen würde. Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel08,
> Lösen Sie die Differentialgleichung
> [mm]y^{,}=\bruch{2}{x}y+x^{2}+1[/mm] für [mm]x\not=0.[/mm]
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> Ich würde gerne wissen, ob mein nachfolgender
> Lösungsvorschlag stimmt, bzw. wie man die Richtigkeit einer
> Lösung prüfen kann:
>
>
> 1.) Zunächst stelle ich die Gleichung nach der Form
> [mm]y^{,}+a(x)y=r(x)[/mm] und erhalte somit
> [mm]y^{,}-\bruch{2}{x}y=x^{2}+1[/mm]
>
>
> 2.) Die Gesamtlösung ist [mm]y=y_{S}+y_{H},[/mm] wobei [mm]y_{H}[/mm] die
> Gesamtlösung der homogenen DGL [mm]y^{,}+a(x)y=0[/mm] und [mm]y_{S}[/mm] eine
> (spezielle) Lösung der inhomogenen DGL [mm]y^{,}+a(x)y=r(x)[/mm]
> ist.
>
>
> 3.) [mm]y_{H}=ce^{-A(x)}, A(x)=\integral_{}^{}{a(x) dx}[/mm]
> liefert:
>
> [mm]y_{H}=ce^{2ln|x|-c}[/mm]
>
> [mm]=c\bruch{x^{2}}{e^{c}},[/mm] mit [mm]c\in\IR[/mm]
>
>
> 4.) [mm]y_{S}=e^{-A(x)}\integral_{}^{}{r(x)e^{A(x)} dx}[/mm]
> liefert:
>
> [mm]y_{S}=e^{2ln|x|-c}\integral_{}^{}{(x^{2}+1)e^{-2ln|x|+c}dx}=x^{3}-x+x^{2}c[/mm]
>
>
> 5.) [mm]y=y_{H}+y_{S}[/mm] liefert:
>
> [mm]y(x)=(\bruch{cx}{e^{c}}+x^{2}-1+cx)x[/mm]
>
>
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand eventuelle
> Fehler aufzeigen würde. Gruß,
>
>
In [mm]y_{S}[/mm] ist auch [mm]y_{H}[/mm] enthalten, so daß zur Lösung der DGL nur die unter 4.) genannte Formel benötigt wird.
>
> Marcel
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 So 16.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Damit wäre dann [mm] y(x)=x^{3}-x+x^{2}c [/mm] die richtige Lösung der Differentialgleichung?
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Hallo Marcel08,
> Damit wäre dann [mm]y(x)=x^{3}-x+x^{2}c[/mm] die richtige Lösung der
> Differentialgleichung?
Ja.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 So 16.11.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Ich danke dir.
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