Inhomogene Dgl. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Do 23.03.2006 | | Autor: | Mafiose |
| Aufgabe | | Dei Differentialgleichung y´´ - 4y´+4y=2cos(3x) ist mit Angabe des Lösungsweges einschließlich der Begründungen dazu zu lösen! |
zuerst setzt man ja die Gleichung gleich 0
kommt dann das hier raus:
y(x)=(C1+C2x)*e ^{2x}
Ich weiß jetzt nicht wie ich das inhomogene Teil lösen kann.
Gibt es nur 2 verschiedene Möglichkeiten? wenn die variablen in der DGL. konstanst sind und nicht konstant?
Die Lösung von der Schule sieht so aus:
Lösungsansatz: S(x)=Kcos(wx)+Lsin(wx)
y(x)= [mm] \gamma [/mm] cos(3x)+ [mm] \delta [/mm] sin(3x)
dann die erste und zweite ableitung bilden
In DGL. [mm] einsetzen=>\gamma [/mm] =10/169; [mm] \delta [/mm] =-24/169
y=-10/169 cos(3x)-24/169 sin(3x)
schön und gut aber ich verstehe diesen Lösungsansatz nicht
Gilt er nur für diesen Fall oder kann ich denn immer benutzen?
ich hab nämlich andere Lösungen gefunden:
y´´(x)+a1y´(x)+a2y(x)=s
1. Konstante Koeffizienten:Yp=s/a2
wäre bei dieser Aufgabe:
2cos(3x)/4=???
2. ich hab einfach
Yp(x)=2cos(3x)
Y´p(x)=-6sin(3x)
Y´´p(x)=-18cos(3x)
dann in die DGL. eingesetzt
kommt raus:
-10cos(3x)+24sin(3x)=2cos(3x)
das sieht ja fast wie die Lösung aus..mir fehlt jetzt nur das geteilt durch 169 :)
war ich aufm richtigem weg? den verstehe ich nämlich :) was muss ich jetzt noch machen? kann ich diesen Weg dann für alle Inhomogene dgl. anwenden? oder gibt es unterschiede?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Do 23.03.2006 | | Autor: | leduart |
> Dei Differentialgleichung y´´ - 4y´+4y=2cos(3x) ist mit
> Angabe des Lösungsweges einschließlich der Begründungen
> dazu zu lösen!
> zuerst setzt man ja die Gleichung gleich 0
> kommt dann das hier raus:
> y(x)=(C1+C2x)*e ^{2x}
Begründung: mit dem Ansatz [mm] y=e^{\lambda*x} [/mm] bekommt man das charakteristische Polynom mit der doppelten Lösung [mm] \lambda=2 [/mm]
> Ich weiß jetzt nicht wie ich das inhomogene Teil lösen
> kann.
> Gibt es nur 2 verschiedene Möglichkeiten? wenn die
> variablen in der DGL. konstanst sind und nicht konstant?
Die Frage ist nicht ganz klar. Der Ansatz "von der Schule" rät eine mögliche Lösung der inhomogenen Gleichung. Das das eine Kombination von sin und cos sein muss ist dabei klar, da ja durch die Differentiation aus cos sin wird.
> Die Lösung von der Schule sieht so aus:
> Lösungsansatz: S(x)=Kcos(wx)+Lsin(wx)
> y(x)= [mm]\gamma[/mm] cos(3x)+ [mm]\delta[/mm] sin(3x)
> dann die erste und zweite ableitung bilden
> In DGL. [mm]einsetzen=>\gamma[/mm] =10/169; [mm]\delta[/mm] =-24/169
>
> y=-10/169 cos(3x)-24/169 sin(3x)
>
> schön und gut aber ich verstehe diesen Lösungsansatz nicht
Wenn man nach dem Einsetzen einen Koeffizientenvergleich macht bekommt man die Ausdrücke für [mm] \gamma [/mm] und [mm] \delta. [/mm] ( Alles was bei sin3x steht muss 0 sein, was bei cos3x steht muss 2 sein.)Wieso verstehst du den Ansatz nicht?
> Gilt er nur für diesen Fall oder kann ich denn immer
> benutzen?
Bei linearen Koeffizienten der homogenen Dgl, und A*sinax bzw. A*cosax als inhomogener Teil bekommt man so immer eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. Wenn der inhomogene Teil anders aussieht braucht man eben auch nen anderen Ansatz.
> ich hab nämlich andere Lösungen gefunden:
> y´´(x)+a1y´(x)+a2y(x)=s
> 1. Konstante Koeffizienten:Yp=s/a2
das ist ja hier auch ein guter Ansatz : Y=A, einsetzen ergibt daraus A =s/a2
bei y´´(x)+a1y´(x)+a2y(x)=s*x+c hilft der Ansatz [mm] Y_{p}=A*x+B, [/mm] einsetzen, Koeffizientenvergleich.
> wäre bei dieser Aufgabe:
> 2cos(3x)/4=???
Nein, siehe oben: der Ansatz geht nur bei konstanter rechter Seite.
> 2. ich hab einfach
> Yp(x)=2cos(3x)
> Y´p(x)=-6sin(3x)
> Y´´p(x)=-18cos(3x)
> dann in die DGL. eingesetzt
> kommt raus:
> -10cos(3x)+24sin(3x)=2cos(3x)
damit siehst du, dass dieser Ansatz gescheitert ist! Denn die Dgl ist ja nicht erfüllt!
> das sieht ja fast wie die Lösung aus..mir fehlt jetzt nur
> das geteilt durch 169 :)
> war ich aufm richtigem weg? den verstehe ich nämlich :)
Nein, das solltest du selbst sehen.
> was muss ich jetzt noch machen? kann ich diesen Weg dann
> für alle Inhomogene dgl. anwenden? oder gibt es
> unterschiede?
Gemeinsam haben alle linearen inhomogenen Dgl, dass man die allgemeine Lösung hat, wenn man die allg. Lösung der homogenen und eine beliebige spezielle Lösung der inhomogenen addiert.
Das gehört auch zu der Begründung dazu!
Ich hoff, damit ists ein bissel klarer, sonst frag genauer weiter, was du nicht verstehst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Do 23.03.2006 | | Autor: | Mafiose |
also erstmal danke für die Antwort..wird jetzt etwas heller im kopf :)
der Lösungsansatz von der Schule, fehlt wahrscheinlich schwer zu verstehen, weil da nur mit cos und sin gerechnet wird...z.B wieso
entsteht das hier? S(x)=Kcos(wx)+Lsin(wx)
und irgendwie wird delta und gamma gebildet...
also nach diesem Prinzip müsste ich die inhomogene dgl. immer lösen können wenn da was mit cos oder sin drin ist?
das schwieriege da dran ist..wie soll man erkennen, welchen ansatz man wählen soll? gibt es vielleicht bestimmte (Rezepte) Ansätze, die man anwenden kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Do 23.03.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Mafiose
> der Lösungsansatz von der Schule, fehlt wahrscheinlich
> schwer zu verstehen, weil da nur mit cos und sin gerechnet
> wird...z.B wieso
> entsteht das hier? S(x)=Kcos(wx)+Lsin(wx)
Das ist der allgemeine Ansatz, wenn liks nur konstante Koeffizienten, rechts Asin(wx)+Bcos(wx) steht, wobei natürlich A oder B auch 0 sein können. bei dir w=3 A=2, B=0
mit y'' +ay'+by=Asin(wx)+Bcos(wx)
und dem Ansatz S(x)=Kcos(wx)+Lsin(wx) (S(x) weil S-pezielle Lösung)
$S' =-K*wsin(wx)+L*w*cos(wx)$
$S'' = [mm] -Kw^2*cos(wx)-Lw^2*sin(wx)$
[/mm]
in Dgl. eingesetzt:
$ [mm] -Kw^2*cos(wx)-Lw^2*sin(wx) [/mm] +a*(-K*wsin(wx)+L*w*cos(wx)) +b*(Kcos(wx)+Lsin(wx) =Acos(wx)+Bsin(wx)$
jetzt nach sin(wx) und cos(wx) ordnen:
[mm] $cos(wx)*(-Kw^2 [/mm] + aLw +bK) [mm] +sin(wx)*(-Lw^2-aKw+bL)=Acos(wx)+Bsin(wx)$
[/mm]
daraus folgt, wenn die Dgl erfüllt sein soll :
[mm] $(-Kw^2 [/mm] + aLw +bK)=A$
[mm] $(-Lw^2-aKw+bL) [/mm] =B$
also 2 Gleichungen für die Zahlen K und L. (die kann man natürlich auch delta und Gamma oder hans und grete nennen)
> und irgendwie wird delta und gamma gebildet...
> also nach diesem Prinzip müsste ich die inhomogene dgl.
> immer lösen können wenn da was mit cos oder sin drin ist?
Ja, siehe oben.
> das schwieriege da dran ist..wie soll man erkennen,
> welchen ansatz man wählen soll? gibt es vielleicht
> bestimmte (Rezepte) Ansätze, die man anwenden kann?
Na ja, irgendwie hängen die Ansätze einfach mit dem inhomogenen Teil zusammen, sehen also ungefähr so aus, und man sieht ja schnell, was beim Differenzieren passiert, und kann den Ansatz anpassen.
Wenn e- fkt rechts stehen, dann die mit Faktor den man anpasst, wenn konstante oder Ax+B hab ich dier den Anssatz gezeigt.
Sonst gibt es noch die sog. "Variation der Konstanten" der homogenen Dgl. aber wenn ihr das nicht gemacht habt, musst dus erst mal nachlesen! (oder brauchst es nicht)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Do 23.03.2006 | | Autor: | Mafiose |
naja wir müssen eigentlich alles können :)
Mathe 3, also 3ter Semester Stoff.
solange Vorlesungsfreie Zeit versuche ich den Stoff zu verstehen.
darf ich fragen ob du dich mit Mathematik schon länger beschäftigst?
irgendwie klingen die Antwort normal :) also man versteht es .. :)
du hast was zu e-fkt. was geschrieben..du meinst sowas:
y´´ [mm] +ay´+y=e^{x}
[/mm]
kennst du vlt. seite wo man so verschiedene Aufgaben und Lösungen dazu sich angucken kann?
durch rechnen..lernt man besser, als nur Theorie lesen
variationen der Konstanten gucke ich mir morgen mal an...
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