Inhomogenes LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:52 So 26.09.2010 | | Autor: | s4ckm4n |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende lineare Gleichungsysteme:
a)
0a + 1b + 2c + 3d = 0
1a + 2b + 3c + 4d = 0
2a + 3b + 4c + 5d = 0
3a + 4b + 5c + 6d = 0
b)
-6a + 6b + 2c - 2d = 2
-9a + 8b + 3c - 2d = 3
-3a + 2b + 1c = 1
-15a+14b + 5c - 4d = 5 |
Mit a) hatte ich keine Probleme, aber bei b) handelt es sich um ein inhomogenes LGS und da komm ich einfach nicht weiter.
Die Lösung sollte ja sein Lösung des dazugehörigen homogenen LGS + spezielle Lösung.
Rauskommen sollte am Ende:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] t\vektor{0 \\ 1 \\ -2 \\ 1} [/mm] + [mm] r\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] t,r [mm] \in \IR
[/mm]
Vielen Dank schon mal :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> b)
> -6a + 6b + 2c - 2d = 2
> -9a + 8b + 3c - 2d = 3
> -3a + 2b + 1c = 1
> -15a+14b + 5c - 4d = 5
> Mit a) hatte ich keine Probleme, aber bei b) handelt es
> sich um ein inhomogenes LGS und da komm ich einfach nicht
> weiter.
>
> Die Lösung sollte ja sein Lösung des dazugehörigen
> homogenen LGS + spezielle Lösung.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Dann zeig doch mal, was Du gerechnet hast, wie weit Du also gekommen bist.
Wir können Dir nur sinnvoll helfen, wenn wir sehen, was Du tust.
Gruß v. Angela
>
>
> Rauskommen sollte am Ende:
> [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1 \\
0}[/mm] + [mm]t\vektor{0 \\
1 \\
-2 \\
1}[/mm] +
> [mm]r\vektor{1 \\
1 \\
1 \\
1}[/mm] t,r [mm]\in \IR[/mm]
>
> Vielen Dank schon mal :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 So 26.09.2010 | | Autor: | s4ckm4n |
Also aus der Aufgabe habe ich erst diese Matrix erstellt.
[mm] \pmat{ -6 & 6 & 2 & -2 & 2 \\ -9 & 8 & 3 & -2 & 3 \\ -3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ -15 & 14 & 5 & -4 & 5 }
[/mm]
Danach einfach gegaußt, und auf diese Matrix gekommen.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -\bruch{1}{3} & -\bruch{1}{2} & -\bruch{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Der Lösungsraum scheint 2-dimensional zu sein.
und die Lösung für das dazu gehörige homogene LGS, sieht man ja leicht & zwar:
[mm] \IL [/mm] = [mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 2}>
[/mm]
Aber weiter weiß ich jetzt nicht mehr.
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> Also aus der Aufgabe habe ich erst diese Matrix erstellt.
> [mm]\pmat{ -6 & 6 & 2 & -2 & 2 \\
-9 & 8 & 3 & -2 & 3 \\
-3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
-15 & 14 & 5 & -4 & 5 }[/mm]
>
> Danach einfach gegaußt, und auf diese Matrix gekommen.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -\bruch{1}{3} & \red{-\bruch{1}{2}} & -\bruch{1}{3} \\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
Das hätte ein [mm] $-\frac{2}{3}$ [/mm] müssen , also:
[mm] \left( \begin {array}{cccc|c} 1&0&-1/3&-2/3&-1/3\\ 0
&1&0&-1&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0
\end {array} \right)
[/mm]
Du bist kurz davor:
Setze [mm]x_3=u,x_4=v[/mm]
[mm]\vektor{x_1\\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 }=\vektor{\frac{1}{3}u +\frac{2}{3}v -\frac{1}{3}\\
v \\
u\\
v }=u*\vektor{\frac{1}{3}\\
0\\
1\\
0}+v*\vektor{\frac{2}{3}\\
1\\
0\\
1}+\vektor{-\frac{1}{3}\\
0\\
0\\
0}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 So 26.09.2010 | | Autor: | s4ckm4n |
Danke für die Antwort, aber ich kann sie einfach in keinen Zusammenhang mit der entgültigen Lösung bringen.
Hab die Aufgabe aus einem Buch (Übungsbuch zur Linearen Algebra von Hannes Stoppel & Birgit Griese, 6. Auflage, S4 Aufgabe 1.b)
Die Lösung steht ja oben.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 So 26.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du schreibst: "einfach gegausst", aber das hast du eben falsch gemacht. wie entsteht etwa die 0 bei 1 0.. in der ersten Zeile?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 So 26.09.2010 | | Autor: | s4ckm4n |
[mm] \pmat{
-6 & 6 & 2 & -2 & 2 \\
-9 & 8 & 3 & -2 & 3 \\
-3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
-15 & 14 & 5 & -4 & 5 } \to \pmat{
-3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 2 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 4 & 0 & -4 & 0 } \to \pmat{
1 & 0 & -\bruch{1}{3} & -\bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} \\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
So bin ich vorgegangen.
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Hallo,
"beide" Lösungen sind richtig.
Es sind nicht zwei verschiedene Lösungen, sondern nur zwei Darstellungen ein und derselben Lösung.
Die "beiden" Lösungsebenen sind gleich.
Gruß v. Angela
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Hallo Zusammen,
bin die Aufgabe von s4ckm4n gerade nochmal durchgegangen und kann dem ganzen auch ganz gut folgen. Allerdings sind mir zwei dinge noch unklar:
1) wie kommt der Autor auf den Lösungsraum, durch Rückwärtsrechnen?
2) wenn ich für [mm] x_3 [/mm] = u u. [mm] x_4 [/mm] = v setze, müsste die Lösungsmenge dann nicht korrekt $ [mm] \vektor{x_1\\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 }=\vektor{\frac{1}{3}u +\frac{2}{3}v -\frac{1}{3}\\ \red {-v} \\ u\\ v }=u\cdot{}\vektor{\frac{1}{3}\\ 0\\ 1\\ 0}+v\cdot{}\vektor{\frac{2}{3}\\ \red {-1} \\ 0\\ 1}+\vektor{-\frac{1}{3}\\ 0\\ 0\\ 0} [/mm] $ lauten, da aus der zweiten Zeile der Matrix zu lesen ist [mm] x_2 \gdw [/mm] -v ?!
Schätze mal das ist ein denkfehler meinerseits, ich komme aber nicht dahinter.
Gruß,
zapata1879
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Hallo, die Lösung von wieschoo ist korrekt
[mm] \pmat{ -6 & 6 & 2 & -2 & 2 \\ -9 & 8 & 3 & -2 & 3 \\ -3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ -15 & 14 & 5 & -4 & 5 }
[/mm]
neue 2. Zeile: 9 mal 1. Zeile minus 6 mal 2. Zeile
neue 3. Zeile: 1. Zeile minus 2 mal 3. Zeile
neue 4. Zeile: 15 mal 1. Zeile minus 6 mal 4. Zeile
[mm] \pmat{ -6 & 6 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & 6 & 0 & -6 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & -6 & 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ -6 & 6 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & 6 & 0 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & -1 & -\bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} & -\bruch{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] x_4=v
[/mm]
[mm] x_3=u
[/mm]
aus 2. Zeile folgt
[mm] x_2-v=0
[/mm]
[mm] x_2=v
[/mm]
du kannst auch immer die Proben für alle vier gegebenen Gleichungen machen
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Do 17.03.2011 | | Autor: | Zapata1879 |
Alles klar, vielen Dank! Denke ich habe meinen "Denkfehler" begriffen!
Gruß,
Zapata1879
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okay, tut mir leid dass ich jetzt nochmal so doof nachfrage. Ich weiß auch, dass dies für die Lösung nicht unbedingt notwendig ist... aber ich komme einfach nicht darauf, wie s4ckm4n auf die Lösung $ [mm] \IL [/mm] $ = $ [mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ 3 \\ 0}, \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ 2}> [/mm] $ für das dazugehörige LGS kommt. Bitte um Hilfe!
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Moin,
> okay, tut mir leid dass ich jetzt nochmal so doof
> nachfrage. Ich weiß auch, dass dies für die Lösung nicht
Macht nichts. Ich steh auch häufig auf dem Schlauch ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]")
> unbedingt notwendig ist... aber ich komme einfach nicht
> darauf, wie s4ckm4n auf die Lösung [mm]\IL[/mm] = [mm]<\vektor{1 \\
0 \\
3 \\
0}, \vektor{1 \\
2 \\
0 \\
2}>[/mm]
> für das dazugehörige LGS kommt. Bitte um Hilfe!
Das ist eine homogene Lösung des LGS:
gesamte Lösung = homogene Lösung + eine spezielle Lösung
Also
[mm] \vektor{x_1\\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 }=\vektor{\frac{1}{3}u +\frac{2}{3}v -\frac{1}{3}\\
v \\
u\\
v }=\underbrace{\red{u\cdot{}\vektor{\frac{1}{3}\\
0\\
1\\
0}+v\cdot{}\vektor{\frac{2}{3}\\
1\\
0\\
1}}}_{\mathbb{L}}+\blue{\vektor{-\frac{1}{3}\\
0\\
0\\
0} }[/mm]
Ob du jetzt nun exakt diese Vektoren nimmst oder Vielfache davon ist egal.
s4ckm4n hat als homogene Lösungsvektoren Vielfache von den roten Vektoren genommen.
EDIT: Wobei ich grad sehe, das s4ckm4n im zweiten Vektor einen Fehler hat. Der müsste dann (2,3,3) sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Zapata1879 |
du meinst (2,3,0,3), glaube ich...
EDIT: Danke aber auf alle Fälle, ich bin wirklich begeistert wie mir in diesem Forum innerhalb weniger Tage schon bei zwei Aufgaben weitergeholfen wurde.
Ich habe die Aufgabe jetzt, denke ich, geschnallt! Danke wieschoo!
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