Initialtopologie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Sa 21.01.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Seien [mm] $(X,\tau), (Y,\lambda), (Z,\theta)$ [/mm] topol. Räume und seien $f: [mm] (X,\tau)\to (Y,\lambda)$ [/mm] sowie $g: [mm] (Y,\lambda)\to (Z,\theta)$ [/mm] stetige Abb.en.
Zeige Folgendes:
Induziert [mm] $g\circ [/mm] f: [mm] (X,\tau)\to (Z,\theta)$ [/mm] auf $X$ die Initialtopologie, so induziert auch $f$ die Initialtopologie. |
Hallo, liebes Forum!
Mit dieser Aufgabe bin ich etwas hilflos, da das alles neue Begrifflichkeiten für mich sind.
Ich fange daher mal langsam an:
Was bedeutet es erstmal, daß
[mm] $g\circ [/mm] f$ die Initialtopologie auf $X$ induziert?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Sa 21.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Ganz allgemein:
Sei [mm] T_1 [/mm] eine Menge und [mm] T_2 [/mm] ein top. Raum und [mm] f:T_1 \to T_2 [/mm] eine Abbildung.
Die Initialtopologie auf [mm] T_1 [/mm] ist die gröbste Topologie bezügl. der f stetig ist.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Sa 21.01.2012 | | Autor: | mikexx |
Das heißt man betrachtet jetzt die Initialtopologie von $X$ bezüglich [mm] $g\circ [/mm] f$?
[mm] $g\circ [/mm] f: [mm] (X,\tau)\to (Z,\theta)$
[/mm]
Aber bei Dir war das eben auf der linken Seite eine Menge, hier ist es ein topologischer Raum, nämlich [mm] $(X,\tau)$...
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Sa 21.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das heißt man betrachtet jetzt die Initialtopologie von [mm]X[/mm]
> bezüglich [mm]g\circ f[/mm]?
>
> [mm]g\circ f: (X,\tau)\to (Z,\theta)[/mm]
>
> Aber bei Dir war das eben auf der linken Seite eine Menge,
> hier ist es ein topologischer Raum, nämlich [mm](X,\tau)[/mm]...
na und ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Sa 21.01.2012 | | Autor: | mikexx |
Ist das nicht etwas Anderes?
-------------------------------
Naja, okay. Noch habe ich nicht verstanden, inwiefern mir das helfen kann, was Du mir aufgeschrieben hast.
Ich schau mir also
[mm] $g\circ [/mm] f: [mm] X\to (Z,\theta)$ [/mm] an und die Initialtopologie ist die gröbste Topologie auf $X$, bezüglich derer die Abbildung [mm] $g\circ [/mm] f$ stetig ist.
Ich scheine den Sinn der Aufgabe noch nicht verstanden zu haben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Sa 21.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ist das nicht etwas Anderes?
>
> -------------------------------
>
> Naja, okay. Noch habe ich nicht verstanden, inwiefern mir
> das helfen kann, was Du mir aufgeschrieben hast.
Sag mal, was soll das ? Du hast gefragt, was man unter der Initialtopologie versteht. Ich habs Dir gesagt.
Was gibts da zu meckern ?
FRED
>
> Ich schau mir also
>
> [mm]g\circ f: X\to (Z,\theta)[/mm] an und die Initialtopologie ist
> die gröbste Topologie auf [mm]X[/mm], bezüglich derer die
> Abbildung [mm]g\circ f[/mm] stetig ist.
>
> Ich scheine den Sinn der Aufgabe noch nicht verstanden zu
> haben.
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Sa 21.01.2012 | | Autor: | mikexx |
Das sollte kein Meckern sein.
Wenn es so rübergekommen ist, entschuldige ich mich.
Ich war nur daran interessiert, wie ich diese Definition nun für die Aufgabe verwenden kann.
Das heißt, ich suche nach einem Ansatz, denn bis jetzt habe ich keinen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Sa 21.01.2012 | | Autor: | mikexx |
Ich weiß nicht, ob das richtig ist, aber ich habe mir mal meine paar Gedanken gemacht.
[mm] $g\circ [/mm] f$ soll also die Initialtopologie auf X induzieren.
Das bedeutet doch: Bezüglich der Abbildung [mm] $g\circ [/mm] f$ hat X die Initialtopologie I , das heißt I ist für
[mm] $g\circ [/mm] f: [mm] X\in (X,\tau) \to \tau (Z,\theta)$
[/mm]
die gröbste Topoloogie auf X, sodass [mm] $g\circ [/mm] f$ stetig ist.
Wie komm ich jetzt aber darauf (sofern es bis hier stimmt), daß auch f die Initialtopologie induziert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:02 So 22.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Hallo, mikexx!
Ich denke, es könnte vllt. helfen, wenn man sich klar macht, daß die Initialtopologie auf X bzgl. [mm] $g\circ [/mm] f$ die Menge der Urbilder der offenen Mengen aus der Topologie auf Z zur Subbasis hat [und ebenso bzgl. f die Menge der offenen Mengen aus der Topologie auf Y zur Subbasis hat].
Ich denke auch, daß da eine Voraussetzung in der Aufgabe fehlt. Kann es sein, daß die Topologie auf Y die Initialtopologie (bzgl. g) sein soll?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 So 22.01.2012 | | Autor: | mikexx |
Sei [mm] $M=\left\{f^{-1}\left(g^{-1}(A)\right)~|~A\in\theta\right\}$ [/mm] also die Subbasis der Initialtopologie auf $X$ bezüglich [mm] $g\circ [/mm] f$ und sei [mm] $N=\left\{f^{-1}(B)~|~B\in\lambda\right\}$ [/mm] die Subbasis der Initialtopologie auf $X$ bezüglich $f$.
Dann muss ich jetzt zeigen, daß $M=N$?
Kann mir das jemand sagen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 So 22.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Identität der Subbasen musst Du nicht zeigen, sondern, daß sie sie gleiche Topologie erzeugen.
Konkret: Zeig: Jedes Element aus der einen Subbasis lässt sich darstellen als Vereinigung endlicher Schnitte aus Elemente der anderen Subbasis.
Daraus folgt, daß beide Initialtopologien (bzgl. gof und bzgl f) identisch sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:27 Mo 23.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Hallo, Leute, ich habe zwar hier geholfen, aber unter der Voraussetzung, daß die Abbildung g die Initialtopologie auf Y induziert.
Braucht man das, kann man das auch ohne das hinkriegen?
Edit:
Ich beantworte es mir selbst: Hier kann man einfach die Stetigkeit der Funktionen f und g nutzen und daß die Initialtopologie die gröbste Topologie ist bzgl. derer gof stetig ist. Dann kann mans auch für f zeigen.
Man braucht also die Voraussetzung, die ich angenommen habe, gar nicht. Sorry, daß ich das eingeführt habe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 25.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:09 So 22.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Einen Ansatz habe ich unten hingeschrieben.
Lies' es mal durch, vllt. hilft es.
Grüße
|
|
|
|
