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| Aufgabe | Es seien f: X-> Y und g: Y->Z zwei injektive Abbildungen. Zeigen Sie, dass dann auch g Ring f : X -> Z injektiv ist.
Und umgekehrt? |
f: X-> Y und g: Y->Z zwei injektive Abbildungen
(g Ring f) a := g (f(a)
Injektiv ist wenn aus [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] folgt [mm] f(a_1) [/mm] = f [mm] (a_2)
[/mm]
Aber den anfang zu dem Beispiel krieg ich nicht hin!
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Hallo,
der Ring ist circ mit einem Backslash davor.
Schau Dir auch mal die Eingabehilfen unterhalb des Eingabefensters an, bzw. klick aufs Summenzeichen, falls du am test des neuen formeleditors teilnimmst. Du findest eine Menge vorgefertigter Zeichen.
> Es seien f: X-> Y und g: Y->Z zwei injektive Abbildungen.
> Zeigen Sie, dass dann auch g Ring f : X -> Z injektiv ist.
> Und umgekehrt?
> f: X-> Y und g: Y->Z zwei injektive Abbildungen
> (g Ring f) a := g (f(a)
> Injektiv ist wenn aus [mm]a_1[/mm] = [mm]a_2[/mm] folgt [mm]f(a_1)[/mm] = f [mm](a_2)[/mm]
Nein, das ist nicht injektiv, sondern selbstverständlich für Funktionen.
Lies nochmal genau nach.
Gruß v. Angela
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> Aber den anfang zu dem Beispiel krieg ich nicht hin!
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Hallo ;)
> Injektiv ist wenn aus $ [mm] a_1 [/mm] $ [mm] \not= [/mm] $ [mm] a_2 [/mm] $ folgt $ [mm] f(a_1) [/mm] $ [mm] \not= [/mm] f $ [mm] (a_2) [/mm] $
War auch nur ein Fehler des Programms, hat mir irgendwie die [mm] \not= [/mm] weggestrichen.
ZuZeigen: [mm] x_1 \not= x_2 [/mm] => [mm] g(f(x_1)) \not= g(f(x_2))
[/mm]
[mm] x_1 \not= x_2 [/mm] => [mm] f(x_1) \not= [/mm] f [mm] (x_2) [/mm] Injektivität von f
[mm] f(x_1) \not= f(x_2) [/mm] => [mm] g(f(x_1)) \not= g(f(x_1)) [/mm] Injektivität von g
2.Frage: wenn umgekehrt g Ring f: X -> Z injektiv ist, sind dann auch g und f injektiv?
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> Hallo ;)
>
> > Injektiv ist wenn aus [mm]a_1[/mm] [mm]\not=[/mm] [mm]a_2[/mm] folgt [mm]f(a_1)[/mm] [mm]\not=[/mm] f
> [mm](a_2)[/mm]
>
> War auch nur ein Fehler des Programms, hat mir irgendwie
> die [mm]\not=[/mm] weggestrichen.
>
> ZuZeigen: [mm]x_1 \not= x_2[/mm] => [mm]g(f(x_1)) \not= g(f(x_2))[/mm]
>
> [mm]x_1 \not= x_2[/mm] => [mm]f(x_1) \not=[/mm] f [mm](x_2)[/mm] Injektivität von f
> [mm]f(x_1) \not= f(x_2)[/mm] => [mm]g(f(x_1)) \not= g(f(x_1))[/mm]
> Injektivität von g
Hallo,
ja, das ist richtig.
>
> 2.Frage: wenn umgekehrt g Ring f: X -> Z injektiv ist, sind
> dann auch g und f injektiv?
Ja, und weiter?
Mit welchen Funktionen hast Du experimentiert?
Vermutung?
Beweisversuche?
Gruß v. Angela
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Hallo!
Gegeben:
[mm] x_1 \not= x_2 [/mm] => g [mm] (f(x_1)) \not= [/mm] g [mm] (f(x_2))
[/mm]
ZuZeigen:
[mm] x_1 \not= x_2 [/mm] => [mm] f(x_1) \not= f(x_2)
[/mm]
[mm] f(x_1) \not= f(x_2) [/mm] => [mm] g(f(x_1)) \not= g(f(x_2)))
[/mm]
Ich gehe also aus von [mm] x_1 \not= x_2 [/mm] => g [mm] (f(x_1)) \not= [/mm] g [mm] (f(x_2)). [/mm] Wie kann ich da weiter gehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 So 04.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
am besten erst mal an beispielen untersuchen, ob die umkehrung stimmt!
dann erst mit nem Beweis anfangen!
kannst du 2 funktionen finden so dass f(g(x)) injektiv ist aber mindestens eine der 2 nicht?
gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> Gegeben:
> [mm]x_1 \not= x_2[/mm] => g [mm](f(x_1)) \not=[/mm] g [mm](f(x_2))[/mm]
Nein, das ist nicht gegeben. Das sollst Du zeigen !
>
> ZuZeigen:
nein. Das ist nicht zu zeihen !
> [mm]x_1 \not= x_2[/mm] => [mm]f(x_1) \not= f(x_2)[/mm]
Ja, weil f injektiv.
> [mm]f(x_1) \not= f(x_2)[/mm]
> => [mm]g(f(x_1)) \not= g(f(x_2)))[/mm]
Ja, weil g injektiv
Damit hast Du Deinen Beweis !
FRED
>
> Ich gehe also aus von [mm]x_1 \not= x_2[/mm] => g [mm](f(x_1)) \not=[/mm] g
> [mm](f(x_2)).[/mm] Wie kann ich da weiter gehen?
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> > Hallo!
> >
> > Gegeben:
> > [mm]x_1 \not= x_2[/mm] => g [mm](f(x_1)) \not=[/mm] g [mm](f(x_2))[/mm]
>
> Nein, das ist nicht gegeben. Das sollst Du zeigen !
>
>
> >
> > ZuZeigen:
>
> nein. Das ist nicht zu zeihen !
>
>
> > [mm]x_1 \not= x_2[/mm] => [mm]f(x_1) \not= f(x_2)[/mm]
Hallo Fred,
theresetom hat bereits gezeigt, daß aus der Injektivität von g und f die der Verkettung folgt.
Sie möchte jetzt wissen, ob aus der Injektivität der Verkettung auch die von f und g folgt.
Das wollte sie mit ihrem Tun beweisen.
Sie hat bereits den Rat bekommen, mal ein bißchen mit Beispielen zu spielen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:40 Mo 05.12.2011 | | Autor: | fred97 |
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> > > Hallo!
> > >
> > > Gegeben:
> > > [mm]x_1 \not= x_2[/mm] => g [mm](f(x_1)) \not=[/mm] g [mm](f(x_2))[/mm]
> >
> > Nein, das ist nicht gegeben. Das sollst Du zeigen !
> >
> >
> > >
> > > ZuZeigen:
> >
> > nein. Das ist nicht zu zeihen !
> >
> >
> > > [mm]x_1 \not= x_2[/mm] => [mm]f(x_1) \not= f(x_2)[/mm]
>
> Hallo Fred,
>
> theresetom hat bereits gezeigt, daß aus der Injektivität
> von g und f die der Verkettung folgt.
Hallo Angela,
ja, da hab ich wohl nicht alles aufmerksam gelesen...
>
> Sie möchte jetzt wissen,
Ah, theresetom ist eine Dame, auch das wusste ich nicht.
Gruß FRED
> ob aus der Injektivität der
> Verkettung auch die von f und g folgt.
> Das wollte sie mit ihrem Tun beweisen.
> Sie hat bereits den Rat bekommen, mal ein bißchen mit
> Beispielen zu spielen.
>
> Gruß v. Angela
>
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hallo zusammen.
wir wissen, dass g [mm] \circ [/mm] f : X ->Z injektiv
d.h. [mm] x_1 \not= x_2) [/mm] -> [mm] g(f(x_1)) \not= g(f(x_2))
[/mm]
<=>g [mm] (f(x_1)) \not= g(f(x_2)) [/mm] => [mm] f(x_1)\not= f(x_2) [/mm] => [mm] x_1\not=x_2
[/mm]
-> f injektiv
Bsp.:
A= {1,2}
B= { *,.,~}
C= {a,b}
f: A ->B
f (1) = *
f(2) = .
g: B ->C
g(*) = a
g(.) = b
g(~)=a
(f [mm] \circ [/mm] g) (x) = f (g(x))
f(g(1))=a
f(g(2))=b
Komposition injektiv, f injektiv aber g nicht injektiv.
Passt das so?
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> hallo zusammen.
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> wir wissen, dass g [mm]\circ[/mm] f : X ->Z injektiv
> d.h. [mm]x_1 \not= x_2)[/mm] -> [mm]g(f(x_1)) \not= g(f(x_2))[/mm]
> <=>g
> [mm](f(x_1)) \not= g(f(x_2))[/mm] => [mm]f(x_1)\not= f(x_2)[/mm] =>
> [mm]x_1\not=x_2[/mm]
> -> f injektiv
>
> Bsp.:
> A= {1,2}
> B= { *,.,~}
> C= {a,b}
>
> f: A ->B
> f (1) = *
> f(2) = .
>
> g: B ->C
> g(*) = a
> g(.) = b
> g(~)=a
>
> (f [mm]\circ[/mm] g) (x) = f (g(x))
> f(g(1))=a
> f(g(2))=b
Hallo,
g(1) können wir nicht berehcnen, denn g ist für 1 nicht definiert.
Du meinst hier [mm] g\cir [/mm] f. Dann passen auch die Definitionsbereiche:
f geht von A nach B, g dann von B nach C, und [mm] g\circ [/mm] f ist eine Abbildung von A nach C.
Ansonsten ist's aber richtig:
>
> Komposition injektiv, f injektiv aber g nicht injektiv.
Gruß v. Angela
>
> Passt das so?
>
>
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> g(1) können wir nicht berehcnen, denn g ist für 1 nicht definiert.
> Du meinst hier $ [mm] g\cir [/mm] $ f. Dann passen auch die Definitionsbereiche:
> f geht von A nach B, g dann von B nach C, und $ [mm] g\circ [/mm] $ f ist eine Abbildung von A nach C.
achso!
Oder ich mache g Ring f!
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>
> achso!
> Oder ich mache g Ring f!
Hallo,
ja klar.
Gruß v. Angela
P.S.: Ich hatte Dir doch gesagt, wie man den Kuller schreibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Mo 05.12.2011 | | Autor: | theresetom |
Ja war eine schnelle Antwort ;)
Danke für die Mühe
LG
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