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Man prüfe, welche der Abbildungen fg : R × R --> R × R injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv sind:
f2 mit f2(x, y) = (xy, x + y)
und
f3 mit f3(x, y) = (x + 2, y + 6)
also die definitionen lese ich mir durch und verstehe dies eigentlich aber ich kann es einfach nicht anwenden. kann mir wohl jemand sagen wie ich das löse,zeigen und beweisen kann?wäre super nett und dringend
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> Man prüfe, welche der Abbildungen fg : R × R --> R × R
> injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv sind:
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> [mm] f_2 [/mm] mit [mm] f_2(x, [/mm] y) = (xy, x + y)
>
> und
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> [mm] f_3 [/mm] mit [mm] f_3(x, [/mm] y) = (x + 2, y + 6)
>
> also die definitionen lese ich mir durch und verstehe dies
> eigentlich aber ich kann es einfach nicht anwenden. kann
> mir wohl jemand sagen wie ich das löse,zeigen und beweisen
> kann?wäre super nett und dringend
Hallo,
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Nehmen wir [mm] f_2.
[/mm]
Für injektiv mußt Du prüfen, ob aus
[mm] f_2(x,y)=f_2(a,b) [/mm] folgt, daß (x,y)=(a,b) ist, also x=a und y=b.
Für surjektiv mußt Du nachschauen, ob Du für jedes beliebige 2-Tupel (a,b) [mm] \in \IR^2 [/mm]
irgendwelche Zahlen x,y [mm] \in \IR [/mm] (bzw.ein 2-Tupel (x,y) [mm] \in \IR) [/mm] findest mit
[mm] f_2(x,y)=(a,b)
[/mm]
Das läuft auf die Lösung des Gleichungssystems xy=a und x+y=b hinaus.
Ich nehme einmal an, daß die Verwirrung daher kommt, daß Du es hier mit Funktionen auf [mm] \IR^2 [/mm] zu tun hast, und hoffe, daß Du jetzt klarkommst.
Gruß v. Angela
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danke für deine erklärung aber wnn ich ganz ehrlich bin kann ich es irgendwie nicht.ich stehe irgendwie auf dem schlauch.kannst du mir das wohl für die erste funktion mal vorrechnen damit ich das bei der zweiten versuchen kann anzuwenden??wäre nett
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:45 Di 06.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo chilavert
[mm] f_{2}(0,1)=(0,1) [/mm] ; [mm] f_{2}(1,0)=(0,1) [/mm] also nicht injektiv!
x*y=a; x+y=b hat das immer ne Lösung bei beliebigem a,b? kannst du sicher selbst ausrechnen!
[mm] f_{3} [/mm] ist so einfach, ne reine Translation, also bijektiv! du kannst die einfache Umkehrfkt. angeben.
Gruss leduart
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also dass das nicht injektiv ist leuchtet mit ein. aber wie mache ich das mit surjektiv? ich habe versucht das einzusetzen und habe heraus bekommen:
x*y=a x=a/y = y=a/x
und x+y=b = x= b-y = y=b-x
nun haben ich einfach mal eingesetzt: a/y=b-y wobei ich a gleich b gesetzt habe und es komt nicht das gleiche raus. weiterhin habe ich dann glecihgesetzt: a/x=b-x wobei a und b wieder gleich sind und es komt wieder nicht das gleiche raus. kann ich nun sagen das es nich surjektiv ist?oder was mache ich hier falsch?ich verzweifle an dieser aufgabe total
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Sei [mm] a\not=0.
[/mm]
> x*y=a ==> y=a/x
>
> und x+y=b ==> y=b-x
Hallo,
bevor du blindlinks irgendwas rechnest, halt kurz inne und besinn Dich auf Dein Ziel.
Was willst Du denn erreichen? Du willst wissen, ob es x und y gibt, welche die Gleichung für vorgegebene a,b lösen.
> nun haben ich einfach mal eingesetzt: a/y=b-y
Das ist nicht übel. Du hast nur noch eine Variable, nämlich y.
>wobei ich a
> gleich b gesetzt habe und es komt nicht das gleiche raus.
so wie's hier steht ist's Blödsinn!!! Wozu willst Du a und b gleichsetzen? Die sind doch vorgegeben.
Was Du zu tun hast, ist, die Gleichung nach y aufzulösen, sofern möglich.
Aber vielleicht meinst Du das Richtige...
Die Gleichung hat nämlich z.B. für a=2=b keine Lösung. Das bedeutet: für kein (x,y) ist f(x,y)=(2,2) und somit ist f nicht surjektiv.
Gruß v. Angela
> weiterhin habe ich dann glecihgesetzt: a/x=b-x wobei a und
> b wieder gleich sind und es komt wieder nicht das gleiche
> raus. kann ich nun sagen das es nich surjektiv ist?oder was
> mache ich hier falsch?ich verzweifle an dieser aufgabe
> total
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