Injektiv, Surjektiv, Bijektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:04 Sa 10.11.2007 | | Autor: | fvs |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:
(a) f : [mm] \IZ \to \IZ [/mm] mit x [mm] \mapsto [/mm] x + |x|,
(b) f : [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] mit (x, y, z) [mm] \mapsto [/mm] (x + y, y + z),
(c) f : [mm] \IR \to \IR^+ [/mm] mit x [mm] \mapsto [/mm] x + [mm] \sqrt{x^2 + 1}.
[/mm]
Bestimmen Sie im Fall der Bijektivität auch die Umkehrfunktion. |
Hallo.
Also ich hänge an dieser Aufgabe ein wenig. Ich habe mich mal an Aufgabe (a) versucht und bin zu folgendem Ergebnis gekommen.
(a)
(i) Die Funktion f ist injektiv.
(ii) Die Funktion f ist nicht surjektiv.
(iii) Die Funktion f ist nicht bijektiv.
zu (i)
Seien n,m [mm] \in \IZ [/mm] mit f(n) = f(m). Dann gilt n + |n| = m + |m| [mm] \gdw [/mm] n + m = |m| - |n|. Daraus folgt n = |m| und m = |n|. Also m = n.
zu (ii)
Durch die Funktion können keine negativen Ergebnisse auftreten. Ich kann es nur nicht formal beweisen, aber es ist ja soweit logisch.
zu (iii)
Da f nicht surjektiv ist, gilt f ist nicht bijektiv.
(b) und (c)
Hier habe ich leider überhaupt keine Idee, wie ich hier anfangen soll und Aussagen über die Injektivität, Surjektivität und Bijketivität tätigen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Dr.Ogen |
noch zu
(i) du sagst es gelte f(m)=f(n) und folgerst dann m=n.
Betrachte doch mal m=-2 und n=-1
-> f(-2)=-2+|-2|=0 und f(-1)=-1+|-1|=0. Es gilt also f(n)=f(m). m ist aber offensichtlich nicht gleich n. Ergo ist die funktion aus a) auch nicht injektiv. Beweis durch Gegenbeispiel ist eigentlich immer die einfachste Methode.
(ii) Versuch mal zu zeigen, dass gilt [mm] f(x)\ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IZ
[/mm]
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> Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Injektivität,
> Surjektivität und Bijektivität:
> (a) f : [mm]\IZ \to \IZ[/mm] mit x [mm]\mapsto[/mm] x + |x|,
> (b) f : [mm]\IR^3 \to \IR^2[/mm] mit (x, y, z) [mm]\mapsto[/mm] (x + y, y +
> z),
> (c) f : [mm]\IR \to \IR^+[/mm] mit x [mm]\mapsto[/mm] x + [mm]\sqrt{x^2 + 1}.[/mm]
>
Hallo,
zu a) hat Dir Dr.Ogen ja schon Wichtiges gesagt.
> zu (ii)
> Durch die Funktion können keine negativen Ergebnisse
> auftreten. Ich kann es nur nicht formal beweisen, aber es
> ist ja soweit logisch.
Wenn es "soweit logisch" ist, solltest Du für Dich mal in Worten notieren, warum das so logisch ist.
Und genau diesen Sachverhalt schreibe dann anschließend in "Zeichensprache" auf.
Falls Du dies wirklich nicht schaffst, solltest Du uns mal erzählen, warum es "soweit logisch" ist.
> (b) und (c)
> Hier habe ich leider überhaupt keine Idee, wie ich hier
> anfangen soll und Aussagen über die Injektivität,
> Surjektivität und Bijketivität tätigen soll.
Bei c) hast Du ja eine Funktion, welche v. den positive reellen Zahlen in die reellen Zahlen geht.
Hier kannst Du dem Reichtum Deiner Ideen doch sehr leicht auf die Sprünge helfen, indem Du die Funktion einfach mal zeichnest.
Dies ist bei der b) nicht so einfach möglich, denn diese Funktion birgt für Anfänger eine echte Hürde: sie bildet Elemente aus den [mm] \IR^3 [/mm] auf solche aus dem [mm] \IR^2 [/mm] ab, was sicher sehr ungewohnt ist.
Die Frage, die Du Dir für die Injektivität stellen mußt ist ja die, ob zwei verschiedene Elemente aus dem Def.bereich auf dassselbe Element des Wertebereiches abgebildet werden können.
Kann man zwei verschiedene Tripel (x,y,z), (a,b,c) finden, die auf dasselbe Zahlenpaar abgebildet werden?
Ich empfehle Dir hier, erstmal ein weng mit der Funktion zu spielen. Rechne dochmal ein paar Funktionswerte aus, damit Du eine Ahnung davon bekommst, wie diese Funktion funktioniert.
Dann schau mal, wie Du es hinkriegst, daß zwei verschiednen tripel aufs selbe Paar abgebildet werden, die Funktion ist nämlich nicht injektiv, soviel sei verraten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Sa 10.11.2007 | | Autor: | fvs |
Hallo.
Vielen Dank für die Antworten.
zu (a):
(i) injektiv: Stimmt, die Funktion ist natürlich nicht injektiv, wie man durch das Gegenbeispiel leicht einsehen kann.
(ii) surjektiv: Die Funktion f ist nicht surjektiv, da f(x) >= 0 für alle x [mm] \in \IZ. [/mm] Da bei einem negativen x automatisch der Betrag, also das positive Gegenstück addiert wird, welches dann den gesamten Ausdruck auf 0 setzt. Bei positiven x verändert der Betrag das x nicht, so dass man x + x betrachtet.
(iii) bijketiv: Die Funktion f ist nicht bijektiv, da die Funktion f weder injektiv noch surjektiv ist.
zu (b):
(i) injektiv: Die Funktion f ist nicht injektiv. Seien [mm] a,b,c,d,e,f\in\IZ [/mm] mit a=5,b=3,c=6 und d=2,e=6,f=3. Dann gilt f(a,b,c) = f(5,3,6)=(8,9)=f(2,6,3) = f(d,e,f).
(ii) hier fehlt mir leider die Idee...
(iii) bijektiv: Die Funktion f ist nicht bijektiv, da die Funktion f nicht injektiv ist.
zu (c):
(i) injektiv: Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] mit f(a) = f(b). Dann gilt a + [mm] \sqrt{a^2+1} [/mm] = b + [mm] \sqrt{b^2+1} [/mm] ...
(ii) hier fehlt mir leider die Idee...
(iii) bijektiv: ...
Vielleicht kann mir ja noch mal einer auf die Sprünge helfen.
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> Hallo.
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> Vielen Dank für die Antworten.
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> zu (a):
> (i) injektiv: Stimmt, die Funktion ist natürlich nicht
> injektiv, wie man durch das Gegenbeispiel leicht einsehen
> kann.
>
> (ii) surjektiv: Die Funktion f ist nicht surjektiv, da f(x)
> >= 0 für alle x [mm]\in \IZ.[/mm] Da bei einem negativen x
> automatisch der Betrag, also das positive Gegenstück
> addiert wird, welches dann den gesamten Ausdruck auf 0
> setzt. Bei positiven x verändert der Betrag das x nicht, so
> dass man x + x betrachtet.
Hallo,
Du hast genau erkannt, warum die Abbildung nicht surkektiv ist.
Zum "richtigen" Aufschreiben mach eine Fallunterscheidung:
1.Fall: [mm] x\ge [/mm] 0
Dann ist f(x)=... [mm] \ge [/mm] 0
1.Fall: [mm] x\le [/mm] 0
Dann ist f(x)=... [mm] \ge [/mm] 0
>
> (iii) bijketiv: Die Funktion f ist nicht bijektiv, da die
> Funktion f weder injektiv noch surjektiv ist.
>
>
>
> zu (b):
> (i) injektiv: Die Funktion f ist nicht injektiv. Seien
> [mm]a,b,c,d,e,f\in\IZ[/mm] mit a=5,b=3,c=6 und d=2,e=6,f=3. Dann
> gilt f(a,b,c) = f(5,3,6)=(8,9)=f(2,6,3) = f(d,e,f).
>
> (ii) hier fehlt mir leider die Idee...
Speil ein bißchen.
Es geht doch darum, Du für jedes Zahlenpaar aus dem [mm] \IR^2 [/mm] ein Tripel findest, welches darauf abgebildet wird.
Nimm Dir erstmal ein paar Zahlenpaare und guck, ob Du was findest. Dabei solltest Du auf eine Idee kommen, wie man das allgemein machen kann für ein Paar (a.b).
>
> (iii) bijektiv: Die Funktion f ist nicht bijektiv, da die
> Funktion f nicht injektiv ist.
>
>
>
> zu (c):
> (i) injektiv: Seien a,b [mm]\in \IR[/mm] mit f(a) = f(b). Dann gilt
> a + [mm]\sqrt{a^2+1}[/mm] = b + [mm]\sqrt{b^2+1}[/mm] ...
Das mit der Injektivität stimmt. Du mußt nun "irgendwie" a=b folgern.
>
> (ii) hier fehlt mir leider die Idee...
Hast Du die Funktion gezeichnet? Da sieht man es ja.
Finde nun zu y>0 ein x mit y=x + $ [mm] \sqrt{x^2 + 1}. [/mm] $
Gruß v. Angela
>
> (iii) bijektiv: ...
>
> Vielleicht kann mir ja noch mal einer auf die Sprünge
> helfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Sa 10.11.2007 | | Autor: | fvs |
Hallo.
(a)
(ii) surjektiv:
1. Fall x >= 0. Dann ist f(x) = x + x >= 0.
2. Fall x < 0. Dann ist f(x) = x + |x| [mm] \gdw [/mm] x = -|x| ...
Hier verließen sie mich wieder...
(b)
(ii) surjektiv:
Die Funktion f ist surjektiv. Seien x,y [mm] \in \IR [/mm] beliebig. Dann hat das Tupel (x,y) das Urbild (x,0,y).
(c)
Ja, ich habe es zeichnen lassen. Also ich würde sagen, dass diese Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Nun muss ich das nochmal überprüfen, wieso.
Das mache ich aber erst morgen.
Aber erstmal Danke.
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> Hallo.
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> (a)
> (ii) surjektiv:
> 1. Fall x >= 0. Dann ist f(x) = x + x >= 0.
> 2. Fall x < 0. Dann ist f(x) = x + |x| [mm]\gdw[/mm] x = -|x| ...
>
> Hier verließen sie mich wieder...
Du mußt hier an die Def. des Betrages gehen. Wie ist der denn, wenn x negativ ist?
>
>
> (b)
> (ii) surjektiv:
> Die Funktion f ist surjektiv. Seien x,y [mm]\in \IR[/mm] beliebig.
> Dann hat das Tupel (x,y) das Urbild (x,0,y).
Na siehst Du: geht doch!
Gruß v. Angela
>
> (c)
> Ja, ich habe es zeichnen lassen. Also ich würde sagen,
> dass diese Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
> Nun muss ich das nochmal überprüfen, wieso.
>
> Das mache ich aber erst morgen.
>
> Aber erstmal Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:18 So 11.11.2007 | | Autor: | fvs |
Hallo.
(c)
(i) injektiv. Seien [mm] a,b\in\IR [/mm] mit f(a) = f(b). Dann gilt:
a + [mm] \sqrt{a^2 + 1} [/mm] = b + [mm] \sqrt{b^2 + 1}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (a + [mm] \sqrt{a^2 + 1})^2 [/mm] = (b + [mm] \sqrt{b^2 + 1})^2
[/mm]
[mm] \gdw a^2 [/mm] + [mm] 2a\sqrt{a^2 + 1} [/mm] + [mm] a^2 [/mm] + 1 = [mm] b^2 [/mm] + [mm] 2b\sqrt{b^2 + 1} [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + 1
[mm] \gdw [/mm] ...
Ich komme an dieser Stelle leider nicht weiter, da ich nicht weiß, wie ich die Wurzel aus dem gesamten Ausdruck wegbekomme.
(ii) surjektiv. Hier fehlt mir leider auch eine Idee, wie man das zeigen kann.
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> Hallo.
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> (c)
> (i) injektiv. Seien [mm]a,b\in\IR[/mm] mit f(a) = f(b). Dann gilt:
> a + [mm]\sqrt{a^2 + 1}[/mm] = b + [mm]\sqrt{b^2 + 1}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] (a +
> [mm]\sqrt{a^2 + 1})^2[/mm] = (b + [mm]\sqrt{b^2 + 1})^2[/mm]
> [mm]\gdw a^2[/mm] +
> [mm]2a\sqrt{a^2 + 1}[/mm] + [mm]a^2[/mm] + 1 = [mm]b^2[/mm] + [mm]2b\sqrt{b^2 + 1}[/mm] + [mm]b^2[/mm] +
> 1
> [mm]\gdw[/mm] ...
>
> Ich komme an dieser Stelle leider nicht weiter, da ich
> nicht weiß, wie ich die Wurzel aus dem gesamten Ausdruck
> wegbekomme.
Hallo,
ich habe hier
> a + [mm]\sqrt{a^2 + 1}[/mm] = b + [mm][mm] \sqrt{b^2 + 1}
[/mm]
erst einmal beide Seiten so erweitert, daß ich im Zähler die 3. binomische Formel hatte.
Vielleicht bringt Dich das schon ein Stück weiter.
> (ii) surjektiv. Hier fehlt mir leider auch eine Idee, wie
> man das zeigen kann.
Hier mußt Du lediglich [mm] y=x+\sqrt{x^2 + 1} [/mm] nach y auflösen.
Damit Du nicht das "Wurzelproblem" hast, beginne so: [mm] ...<==>y-x=\sqrt{x^2 + 1}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 So 11.11.2007 | | Autor: | fvs |
Hallo.
Also ich versuche es jetzt mit der Injektivität noch einmal.
Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] mit f(a) = f(b). Dann gilt
a + [mm] \sqrt{a^2 + 1} [/mm] = b + [mm] \sqrt{b^2 + 1}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (a + [mm] \sqrt{a^2 + 1}) [/mm] (a - [mm] \sqrt{a^2 + 1}) [/mm] = (b + [mm] \sqrt{b^2 + 1}) [/mm] (a - [mm] \sqrt{b^2 + 1})
[/mm]
[mm] \gdw a^2 [/mm] - [mm] (a^2 [/mm] + 1) = (b + [mm] \sqrt{b^2 + 1}) [/mm] (a - [mm] \sqrt{b^2 + 1})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -1 = ab - [mm] b\sqrt{a^2 + 1} [/mm] + [mm] a\sqrt{b^2 + 1} [/mm] - [mm] \sqrt{(b^2 + 1)(a^2 + 1)}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ...
Hier geht es leider nicht weiter.
Das gleiche Problem habe ich bei der Surjektivität.
y = x + [mm] \sqrt{x^2 + 1}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] y - x = [mm] \sqrt{x^2 + 1}
[/mm]
[mm] \gdw (y-x)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 1
[mm] \gdw y^2 [/mm] - 2xy + [mm] x^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 1
[mm] \gdw y^2 [/mm] - 2xy = 1
[mm] \gdw y^2 [/mm] - 2xy - 1 = 0
[mm] \gdw [/mm] ...
Hier geht es leider nicht weiter.
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> Hallo.
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> Also ich versuche es jetzt mit der Injektivität noch
> einmal.
>
> Seien a,b [mm]\in \IR[/mm] mit f(a) = f(b). Dann gilt
> a + [mm]\sqrt{a^2 + 1}[/mm] = b + [mm]\sqrt{b^2 + 1}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] (a +
> [mm]\sqrt{a^2 + 1})[/mm] (a - [mm]\sqrt{a^2 + 1})[/mm] = (b + [mm]\sqrt{b^2 + 1})[/mm]
> (a - [mm]\sqrt{b^2 + 1})[/mm]
Hallo,
diese Äquivalenz kann doch nicht stimmen. Wenn Du auf beiden Seiten mit völlig verschiedenen Zahlen multiplizierst, wird das nicht äquivalent sein. Ich schrieb ja auch über "erweitern".
> Hier geht es leider nicht weiter.
>
>
> Das gleiche Problem habe ich bei der Surjektivität.
> y = x + [mm]\sqrt{x^2 + 1}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] y - x = [mm]\sqrt{x^2 + 1}[/mm]
> [mm]\gdw (y-x)^2[/mm]
> = [mm]x^2[/mm] + 1
> [mm]\gdw y^2[/mm] - 2xy + [mm]x^2[/mm] = [mm]x^2[/mm] + 1
> [mm]\gdw y^2[/mm] - 2xy = 1
> [mm]\gdw y^2[/mm] - 2xy - 1 = 0
> [mm]\gdw[/mm] ...
>
> Hier geht es leider nicht weiter.
Wieso? Lös doch jetzt nach x auf.
Der Äquivalenzpfeil vor der dritten zeile stimmt nicht. Das ist nur ein "daraus folgt".
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 So 11.11.2007 | | Autor: | fvs |
Hi.
Surjektivität:
y = x + [mm] \sqrt{x^2 + 1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y - x = [mm] \sqrt{x^2 + 1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (y-x)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 1
[mm] \Rightarrow y^2 [/mm] - 2xy + [mm] x^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 1
[mm] \Rightarrow y^2 [/mm] - 2xy = 1
[mm] \Rightarrow y^2 [/mm] - 2xy - 1 = 0
[mm] \Rightarrow y^2 [/mm] - 1 = 2xy
[mm] \Rightarrow \bruch{y^2 - 1}{2y} [/mm] = x
[mm] \Rightarrow \burch{(y - 1)(y + 1)}{2y} [/mm] = x
[mm] \Rightarrow [/mm] ...
(geht es hier jetzt noch weiter? was kann ich denn daraus nun ablesen?
Injektivität:
Dann stehe ich auf dem Schlauch mit dem "erweitern". Ich habe doch erweitert, oder sehe ich das falsch?
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> Hi.
>
> Surjektivität:
> y = x + [mm]\sqrt{x^2 + 1}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] y - x = [mm]\sqrt{x^2 + 1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (y-x)^2[/mm] = [mm]x^2[/mm] + 1
> [mm]\Rightarrow y^2[/mm] - 2xy + [mm]x^2[/mm] = [mm]x^2[/mm] + 1
> [mm]\Rightarrow y^2[/mm] - 2xy = 1
> [mm]\Rightarrow y^2[/mm] - 2xy - 1 = 0
> [mm]\Rightarrow y^2[/mm] - 1 = 2xy
> [mm]\Rightarrow \bruch{y^2 - 1}{2y}[/mm] = x
Berechne mal [mm] f(x)=f(\bruch{y^2 - 1}{2y}) [/mm] und schau, ob y herauskommt. Wenn ja, hast Du ein x gefunden, welches auf Dein vorgegebenes y abgebildet wird.
> Injektivität:
> Dann stehe ich auf dem Schlauch mit dem "erweitern". Ich
> habe doch erweitert, oder sehe ich das falsch?
Grottenfalsch.
Weißt Du eigentlich, was erweitern ist? Das hat etwas mit Brüchen zu tun... Man multipliziert da mit einer verkleideten 1.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 So 11.11.2007 | | Autor: | fvs |
Hallo.
Okay. Dann versuche ich mich ein weiteres Mal an der Injektivität und hoffe, dass ich jetzt den Tipp mit dem "Erweitern" richtig verstanden habe.
[mm] a+\sqrt{a^2+1}=b+\sqrt{b^2+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{(a+\sqrt{a^2+1})(a-\sqrt{a^2+1})}{a-\sqrt{a^2+1}} [/mm] = [mm] \bruch{(b+\sqrt{b^2+1})(b-\sqrt{b^2+1})}{b-\sqrt{b^2+1}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{a^2 - (a^2 + 1)}{a-\sqrt{a^2+1}} [/mm] = [mm] \bruch{b^2 - (b^2 + 1)}{b-\sqrt{b^2+1}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow -\bruch{1}{a-\sqrt{a^2+1}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{b-\sqrt{b^2 + 1}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ...
Doch auch hier geht es nicht wirklich weiter.
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> Hallo.
>
> Okay. Dann versuche ich mich ein weiteres Mal an der
> Injektivität und hoffe, dass ich jetzt den Tipp mit dem
> "Erweitern" richtig verstanden habe.
>
> [mm]a+\sqrt{a^2+1}=b+\sqrt{b^2+1}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \bruch{(a+\sqrt{a^2+1})(a-\sqrt{a^2+1})}{a-\sqrt{a^2+1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{(b+\sqrt{b^2+1})(b-\sqrt{b^2+1})}{b-\sqrt{b^2+1}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \bruch{a^2 - (a^2 + 1)}{a-\sqrt{a^2+1}}[/mm] =
> [mm]\bruch{b^2 - (b^2 + 1)}{b-\sqrt{b^2+1}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow -\bruch{1}{a-\sqrt{a^2+1}}[/mm]
> = [mm]-\bruch{1}{b-\sqrt{b^2 + 1}}[/mm]
Jawoll, so dachte ich mir das!
Nun mach folgendes: mit -1 multiplizieren, den Kehrwert bilden und dann???
[mm] a+\sqrt{a^2+1}=b+\sqrt{b^2+1} [/mm] dazu addieren...
Erinnerst Du Dich eigentlich nocht daran, was Du herausbekommen wolltest? a=b.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 So 11.11.2007 | | Autor: | fvs |
Hallo.
Injektivität:
[mm] a+\sqrt{a^2+1}=b+\sqrt{b^2+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{(a+\sqrt{a^2+1})(a-\sqrt{a^2+1})}{a-\sqrt{a^2+1}} [/mm] = [mm] \bruch{(b+\sqrt{b^2+1})(b-\sqrt{b^2+1})}{b-\sqrt{b^2+1}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{a^2 - (a^2 + 1)}{a-\sqrt{a^2+1}} [/mm] = [mm] \bruch{b^2 - (b^2 + 1)}{b-\sqrt{b^2+1}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow -\bruch{1}{a-\sqrt{a^2+1}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{b-\sqrt{b^2 + 1}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{a-\sqrt{a^2+1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{b-\sqrt{b^2 + 1}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a-\sqrt{a^2+1} [/mm] = [mm] b-\sqrt{b^2+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a-\sqrt{a^2+1} [/mm] + [mm] a+\sqrt{a^2+1} [/mm] = [mm] b-\sqrt{b^2+1} [/mm] + [mm] b+\sqrt{b^2+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 2a = 2b
[mm] \Rightarrow [/mm] a = b
Surjektivität
[mm] f(\bruch{y^2-1}{2y}) [/mm] = [mm] (\bruch{y^2-1}{2y}) [/mm] + [mm] \sqrt{\bruch{y^2-1}{2y}+1} [/mm] = ...
Ich komme einfach nicht weiter und weiß nicht, wie ich das ganze nun auflösen soll. leider :(
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> [mm]\Rightarrow[/mm] a = b
Siehste!!!
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> Surjektivität
> [mm]f(\bruch{y^2-1}{2y})[/mm] = [mm](\bruch{y^2-1}{2y})[/mm] +
> [mm]\sqrt{\bruch{y^2-1}{2y}+1}[/mm] = ...
>
> Ich komme einfach nicht weiter und weiß nicht, wie ich das
> ganze nun auflösen soll. leider :(
Tja, die Kunst beginnt damit, daß man richtig einsetzt. Wenn da steht [mm] "x^2" [/mm] mußt Du natürlich quadrieren...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mo 12.11.2007 | | Autor: | fvs |
Hallo.
Also ich habe den Fehler eingesehen, aber ich komme damit trotzdem nicht weiter...
[mm] f(\bruch{y^2-1}{2y}) [/mm] = [mm] (\bruch{y^2-1}{2y}) [/mm] + [mm] \sqrt{(\bruch{y^2-1}{2y})^2 + 1} [/mm] = ...
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> Hallo.
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> Also ich habe den Fehler eingesehen, aber ich komme damit
> trotzdem nicht weiter...
>
> [mm]f(\bruch{y^2-1}{2y})[/mm] = [mm](\bruch{y^2-1}{2y})[/mm] +
> [mm]\sqrt{(\bruch{y^2-1}{2y})^2 + 1}[/mm] = ...
Tja, was hast Du denn gemacht? Das müßte man schon sehen...
Wie wär's mit einem gemeinsamen Bruchstrich unter der Wuzel, Klammer auflösen unter der Wurzel etc?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mo 12.11.2007 | | Autor: | fvs |
Hallo.
[mm] f(\bruch{y^2-1}{2y}) [/mm] = [mm] (\bruch{y^2-1}{2y}) [/mm] + [mm] \sqrt{(\bruch{y^2-1}{2y})^2 + 1} [/mm] = [mm] \bruch{\sqrt(y^6 - 2y^4 + y^2 + 4)}{2} [/mm] + [mm] \bruch{y^2 - 1}{2y} [/mm] = ...
Einen Schritt habe ich noch geschafft, aber weiter geht es leider schon wieder nicht.
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> Hallo.
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> [mm]f(\bruch{y^2-1}{2y})[/mm] = [mm](\bruch{y^2-1}{2y})[/mm] +
> [mm]\sqrt{(\bruch{y^2-1}{2y})^2 + 1}[/mm] = [mm]\bruch{\sqrt(y^6 - 2y^4 + y^2 + 4)}{2}[/mm]
> + [mm]\bruch{y^2 - 1}{2y}[/mm] = ...
>
> Einen Schritt habe ich noch geschafft, aber weiter geht es
> leider schon wieder nicht.
Meine Herrn, Du rechnest Dir ja 'ne Naht zurecht...
[mm] mm](\bruch{y^2-1}{2y})[/mm] [/mm] + [mm]\sqrt{(\bruch{y^2-1}{2y})^2 + 1}[/mm]
[mm] =mm](\bruch{y^2-1}{2y})[/mm] [/mm] + [mm]\sqrt{\bruch{(y^2-1)^2+4y^2}{4y^2} }[/mm]
=... und weiter geht's!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:26 Di 13.11.2007 | | Autor: | fvs |
Hallo.
War doch wohl gestern schon etwas spät für mich ;)
Habe es aber jetzt doch geschafft und die Surjektivität der Funktion nachgewiesen. Jetzt soll ich ja noch die Umkehrfunktion bilden.
Habe mir das so gedacht, aber irgendwie macht das so glaube ich keinen Sinn:
y = f(x) = x + [mm] \sqrt{x^2 + 1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x = f(y) = y + [mm] \sqrt{y^2 + 1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x - y = [mm] \sqrt{y^2 + 1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^2 [/mm] - 2xy + [mm] y^2 [/mm] = [mm] y^2 [/mm] + 1
[mm] \Rightarrow x^2 [/mm] - 1 = 2xy
[mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] \bruch{x^2 - 1}{2x}
[/mm]
Also gilt [mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{x^2 - 1}{2x}
[/mm]
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> Hallo.
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> War doch wohl gestern schon etwas spät für mich ;)
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> Habe es aber jetzt doch geschafft und die Surjektivität der
> Funktion nachgewiesen. Jetzt soll ich ja noch die
> Umkehrfunktion bilden.
>
> Habe mir das so gedacht, aber irgendwie macht das so glaube
> ich keinen Sinn:
> Also gilt [mm]f^{-1}(x)[/mm] = [mm]\bruch{x^2 - 1}{2x}[/mm]
Hallo,
wieso nicht?
Die tut doch das, was sie soll, oder nicht?
Du mußt bloß - falls Du gerne volle Punktzahl hieraus hättest - angeben, von wo nach wo sie abbildet.
Def. und Wertebereich gehören bei Funktionen immer dazu.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Di 13.11.2007 | | Autor: | fvs |
Hi.
Das ist dann ja super, wenn das mit der Umkehrfunktion so richtig ist. Also der Definitionsbereich müsste doch [mm] \IR^+ [/mm] sein und der Wertebereich [mm] \IR. [/mm] Wobei natürlich bei einem Definitionsbereich von [mm] \IR^+ [/mm] auch nur Werte in [mm] \IR^+ [/mm] erreicht werden können.
Die Ursprungsfunktion lautet ja f : [mm] \IR \to \IR^+ [/mm] und bei der Umkehrfunktion muss man doch die Mengen einfach tauschen, oder?
Viele Grüße und vielen Dank für die Geduld.
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> Hi.
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> Das ist dann ja super, wenn das mit der Umkehrfunktion so
> richtig ist. Also der Definitionsbereich müsste doch [mm]\IR^+[/mm]
> sein und der Wertebereich [mm]\IR.[/mm] Wobei natürlich bei einem
> Definitionsbereich von [mm]\IR^+[/mm] auch nur Werte in [mm]\IR^+[/mm]
> erreicht werden können.
>
> Die Ursprungsfunktion lautet ja f : [mm]\IR \to \IR^+[/mm] und bei
> der Umkehrfunktion muss man doch die Mengen einfach
> tauschen, oder?
Ja.
Aber wenn Du jetzt nur auf positive Werte abbildest, kann das ja doch nicht die Umkehrfunktion sein.
Dann ist da noch der Wurm drin - es sei denn, Du überlegst Dir ganz schnell, daß Du doch auch die negativen Werte bekommst...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Di 13.11.2007 | | Autor: | fvs |
Na ja.
Laut der Definition meines Mathe-Profs gilt [mm] \IR^+ [/mm] = [mm] \{x \in \IR | x > 0 \}. [/mm] Wenn ich jetzt aber den Wert x = 1 in die Gleichung einsetze, kommt 0 heraus und ist somit nicht in [mm] \IR^+, [/mm] sondern nur in [mm] \IR.
[/mm]
Hast du das so gemeint?
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> Na ja.
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> Laut der Definition meines Mathe-Profs gilt [mm]\IR^+[/mm] = [mm]\{x \in \IR | x > 0 \}.[/mm]
> Wenn ich jetzt aber den Wert x = 1 in die Gleichung
> einsetze, kommt 0 heraus und ist somit nicht in [mm]\IR^+,[/mm]
> sondern nur in [mm]\IR.[/mm]
>
> Hast du das so gemeint?
Nein.Du hast an Deiner Umkehrfunktion [mm] f^{-1}: \IR^{+}\to \IR [/mm] kritisiert, daß alle Funktionwerste positiv sind.
Dann wäre es aber nicht die Umkehrfunktion v. f.
Ich will Dich darauf stoßen, daß Du mit [mm] f^{-1} [/mm] tatsächlich jeden beliebigen neg. Wert erreichst, auch wenn Du nur positive Zahlen einsetzt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Di 13.11.2007 | | Autor: | fvs |
Hallo.
Also ist meine Umkehrfunktion doch nicht richtig? Ich könnte ja einfach noch einmal -x anhängen. damit gelange ich dann immer im negativen Bereich, aber nicht mehr im positiven Bereich.
Also irgendwie stehe ich gerade ein wenig auf dem Schlauch... mal wieder :(
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Sie IST richtig.
DU hast doch die Zweifel ins Spiel gebracht,
ICH versuche lediglich, DICH dazu zu bringen, sie selbst zu entkräften.
Häng da bloß nichts hinter!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Di 13.11.2007 | | Autor: | fvs |
Hallo.
Ich habe also jetzt alles mögliche überlegt, aber ich bleibe trotzdem dabei, dass die Ergebnisse nur im positiven Bereich liegen...
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> Ich habe also jetzt alles mögliche überlegt, aber ich
> bleibe trotzdem dabei, dass die Ergebnisse nur im positiven
> Bereich liegen...
Dann hast Du nicht gründlich nachgedacht.
Hast Du mal o.oo1 eingesetzt?
Oder die Funktion gezeichnet?
Gruß v. Angela
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