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| Aufgabe | Es sei A={1,2,3} und B={4,5}
a. schreiben sie alle funktionen f: A -> B als Teilmengen von A x B auf
b. Welche davon sind injektiv, surjektiv, bijektiv?
Sei nun C eine Menge mit n Elementen und D eine Menge mit m Elementen.
c. Wie viele verschiedene Funktionen f: C -> D gibt es?
d. beweisen sie: es gibt eine bijektive Funktion f: C -> D genau dann, wenn m = n |
Wie genau gehe ich bei dieser Aufgabe vor? Zunächst habe ich das kartesische Produkt für A x B gebildet.
Und weiter? Bitte um Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei A={1,2,3} und B={4,5}
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> a. schreiben sie alle funktionen f: A -> B als Teilmengen
> von A x B auf
> b. Welche davon sind injektiv, surjektiv, bijektiv?
>
> Sei nun C eine Menge mit n Elementen und D eine Menge mit m
> Elementen.
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> c. Wie viele verschiedene Funktionen f: C -> D gibt es?
> d. beweisen sie: es gibt eine bijektive Funktion f: C -> D
> genau dann, wenn m = n
> Wie genau gehe ich bei dieser Aufgabe vor? Zunächst habe
> ich das kartesische Produkt für A x B gebildet.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
>
> Und weiter?
Jetzt überlegst Du Dir, welche Funktionen von A nach B es gibt.
ich fang mal mit einer ersten Funktion an:
[mm] f_1:A\to [/mm] B mit
[mm] f_1(1):=4
[/mm]
[mm] f_1(2):=4
[/mm]
[mm] f_1(3):=5.
[/mm]
Als Teilmenge von [mm] A\times [/mm] B geschreiben: [mm] f_1=\{(1,4), (2,4), (3,5)\}.
[/mm]
LG Angela
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Ok,
Daraus müsste dann folgen
Die zweite Funktion wäre dann (1,4),(2,5),(3,4)
Richtig?
Daraus würde dann auch folgen dass alle teilmengen subjektiv sind, da jedem Element aus b ein Element aus a zugeordnet ist. Injektiv sind die teilmengen auch nicht, da Der Menge a zwei Elemente von b zugeordnet sind. Richtig?
Zu c: da es n und m verschiedene Elemente gibt, gibt es auch n*m verschiedene Funktionen
Und letztendlich zu d:
Injektiv: c und d sind gleichmächtig. So dass gilt dass jedem Element aus c ein Element von d zugeordnet wird.
Surjektiv: jedes Element aus d muss mindestens einmal getroffen werden. Also f(c) = d
Da dies der fall ist: surjektiv.
Aus beidem folgt dass die Funktionen Bijektiv sind.
Kann man dies so sagen?
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> Ok,
> Daraus müsste dann folgen
>
> Die zweite Funktion wäre dann (1,4),(2,5),(3,4)
> Richtig?
Hallo,
ja, auch das ist so eine Funktion - aber es gibt noch mehr davon.
Die wollen die Chefs alle wissen.
>
> Daraus würde dann auch folgen dass alle teilmengen
> subjektiv sind,
Du meinst wohl eher: surjektiv.
in der tat sind die beiden Funktionen , die wir bisher geefunden haben, surjektiv.
Aber Aussagen über alle Funktionen von A nach B kannst Du erst machen, wenn Du weißt, was sich hinter "alle" verbirgt.
> da jedem Element aus b ein Element aus a
> zugeordnet ist.
Ja.
> Injektiv sind die teilmengen auch nicht, da
> Der Menge a zwei Elemente von b zugeordnet sind. Richtig?
Das stimmt, und man wird es nicht anders hinbekommen, da in A 3 Elemente sind, in B aber nur zwei.
>
> Zu c: da es n und m verschiedene Elemente gibt, gibt es
> auch n*m verschiedene Funktionen
Darüber denke lieber erst nach, wenn Du in der anderen Aufgabe alle Funktionen gefunden hast.
>
> Und letztendlich zu d:
> Injektiv: c und d sind gleichmächtig. So dass gilt dass
> jedem Element aus c ein Element von d zugeordnet wird.
> Surjektiv: jedes Element aus d muss mindestens einmal
> getroffen werden. Also f(c) = d
> Da dies der fall ist: surjektiv.
> Aus beidem folgt dass die Funktionen Bijektiv sind.
>
> Kann man dies so sagen?
Nicht so ganz.
Für endliche Mengen C und D ist zu zeigen:
a) C, D gleichmächtig ==> es gibt eine bijektive Abbildung [mm] f:C\to [/mm] D
b) Es gibt eine bijektive Abbildung ==> C, D sind gleichmächtig.
zu a)
Wenn man zeigen soll, daß eine Abbildung existiert, so gibt man sie an.
Sag [mm] C:=\{c_1,...,c_n\}, D:=\{d_1,...,d_n\} [/mm] , wobei die [mm] c_i [/mm] und [mm] d_i [/mm] alle verschieden sind.
Und nun sag die Funktionsvorschrift und beweise, daß diese Funktion bijektiv ist.
zu b)
Sei f bijektiv und [mm] C:=\{c_1,...,c_n\}, [/mm] wobei die [mm] c_i [/mm] alle verschieden sind.
Beweise nun, daß die [mm] Menge\{f(c_1), ...,f(c_n)\} [/mm] wirklich n verschiedene Elemente hat.
LG Angela
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Leider komme ich gar nicht weiter und bin komplett verwirrt :(
Kann man die Funktionen vielleicht auch so definieren:
1. (1,4),(1,5)
2. (2,4),(2,5)
3. (3,4),(3,5)
Damit hätte ich dann alle Funktionen?
Bei den restlichen Aufgaben weiß ich leider nicht weiter :(
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Habe jetzt 12 Funktionen gefunden, kann das sein?
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> Habe jetzt 12 Funktionen gefunden, kann das sein?
Hallo,
12 Funktionen von [mm] A\to [/mm] B kommen mir etwas viel vor.
Hast Du welche doppelt?
Ich würde 8 Möglichkeiten erwarten.
LG Angela
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> Leider komme ich gar nicht weiter und bin komplett verwirrt
> :(
> Kann man die Funktionen vielleicht auch so definieren:
>
> 1. (1,4),(1,5)
> 2. (2,4),(2,5)
> 3. (3,4),(3,5)
Hallo,
ich soll das spaltenweise lesen?
Ja, das sind zwei weitere Funktionen.
>
> Damit hätte ich dann alle Funktionen?
Ich hab' mir nicht gemerkt, welche Du schon hast.
Präsentiere Dein Ergebnis übersichtlich, so daß man es auf einen Blick entscheiden kann.
Das Problem des Aufstellens der Funktionen ist im Prinzip ein kombinatorisches: für f(1), f(2), f(3) hast Du jeweils zwei Möglichkeiten.
[mm]\begin{tabular}[ht]{ccccccccc} \hline f(1) \parallel & 4 & & & &| 5&&&\\
\hline f(2)\parallel & 4 & & |5&& |4&&|5&\\
\hline f(3)\parallel & 4 & 5& |4&5& |4&5 &|4&5\\
\hline \end{tabular}
[/mm]
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> Bei den restlichen Aufgaben weiß ich leider nicht weiter
Du brauchst ja auch erstmal die erste.
Bis die nicht steht, ist der Rest sinnlos.
LG Angela
> :(
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