Injektive Abbildung von Q in N < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:06 Sa 04.11.2006 | | Autor: | lithium |
| Aufgabe | | Finde eine injektive Abbildung von [mm] \IQ [/mm] nach [mm] \IN. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Ansatz wäre die Unendlichkeit auszusnutzen und p/q in [mm] \IQ [/mm] irgendwie nach n+1 in [mm] \IN [/mm] abzubilden. Aber da komme ich irgenwie auf keine konkrete Funktion.
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Hallo,
versuch doch erst mal, die Menge [mm] $I:=\{r \in \IQ \mid -1 \le r \le 1\}$ [/mm] (zumindest injektiv) auf die nichtnegativen ganzen Zahlen [mm] (=$\IN \cup \{0}$ [/mm] abzubilden. Und eine bijektive Abbildung von [mm] $\IQ \to [/mm] I$ zu finden ist nicht schwierig  . Die Komposition dieser beiden Abbildungen ist dann eine injektive Abbildung [mm] $\IQ \to \IN_0$. [/mm] Dies in Kombination mit der Abbildung $f: [mm] \IN_0 \to \IN, [/mm] f(n)=n+1$ liefert Dir die gewünschte Abbildung.
Gruß
zahlenspieler
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> Hallo,
> versuch doch erst mal, die Menge [mm]I:=\{r \in \IQ \mid -1 \le r \le 1\}[/mm]
> (zumindest injektiv) auf die nichtnegativen ganzen Zahlen
> (=[mm]\IN \cup \{0}[/mm] abzubilden. Und eine bijektive Abbildung
> von [mm]\IQ \to I[/mm] zu finden ist nicht schwierig . Die
> Komposition dieser beiden Abbildungen ist dann eine
> injektive Abbildung [mm]\IQ \to \IN_0[/mm]. Dies in Kombination mit
> der Abbildung [mm]f: \IN_0 \to \IN, f(n)=n+1[/mm] liefert Dir die
> gewünschte Abbildung.
> Gruß
> zahlenspieler
Sorry, bin mir inzwischen doch nicht mehr so sicher mit der Abbildung von [mm] $\IQ \to [/mm] I$: Surjektiv ist einfach, aber injektiv? Vielleicht läßt sich mit der surjektiven Abbildung
[mm] $g\colon \IQ \to [/mm] I, [mm] g(r)=\left{\begin{matrix} 0 & \mbox{falls } &r=0\\
r & \mbox{falls }&\left\vert r \right\vert <1\\
1/r &\mbox{sonst}
\end{matrix}\right.$
[/mm]
in Kombination mit einer bijektiven von I nach [mm] $\IN_0$ [/mm] ggf. doch noch die Injektivität retten...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Sa 04.11.2006 | | Autor: | lithium |
Hmm, man könnte vielleicht über NxN argumentieren, was gleichmächtig zu N ist. Dann eine surjektive abb nach Q >0 und von Q >0 müsste man dann injektiv zurück nach N kommen, weil NxN und N gleichmächtig sind.
Also N->NxN mit [mm] 2^{x-1} [/mm] * (2y - 1), (bijektiv)
dann NxN->Q>0 mit (x,y)->x/y (surjektiv)
und dann Q>0->N mit "weiss noch nicht, vielleicht ne urbildargumentation"(injektiv)
Mir fällt grade auf, das die Aufgabe falsch gestellt sein müsste, es müsste Q>0 in der ursprungsaufgabe heissen.
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Hallo,
> Hmm, man könnte vielleicht über NxN argumentieren, was
> gleichmächtig zu N ist. Dann eine surjektive abb nach Q >0
> und von Q >0 müsste man dann injektiv zurück nach N kommen,
> weil NxN und N gleichmächtig sind.
Dasselbe müßte aber auch funktionieren für [mm] $\IZ \times \IN$.
[/mm]
Hier eine Bijektion von [mm] $\IZ$ [/mm] nach [mm] $\IN$:
[/mm]
[mm]z \mapsto \left{\begin{matrix}
2z+1&\mbox{falls } & z \ge 0 \\
-2z &\mbox{sonst}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> Also N->NxN mit [mm]2^{x-1}[/mm] * (2y - 1), (bijektiv)
Echt?? Naja, wenn sie wenigstens injektiv ist, reichts.
> dann NxN->Q>0 mit (x,y)->x/y (surjektiv)
> und dann Q>0->N mit "weiss noch nicht, vielleicht ne
> urbildargumentation"(injektiv)
Huch, warum wieder "zurück"? Ist noch nicht druckreif, aber vielleicht gehts so:
Auf [mm] $\IZ \times \IN$ [/mm] definierst Du eine Äquivalenzrelation durch $(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) [mm] \Leftrightarrow [/mm] ad=bc$.
Und dann die "Brüche" auf die entspr. Äquivalenzklassen abbilden...
Schaumer mal!
Mfg
zahlenspieler
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