Injektiver Ringhomomo. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie:
(a) Ist $f:K [mm] \to [/mm] R$ ein Ringhomomorphismus von einem Körper K in einen Ring R [mm] \not= [/mm] {0},
so ist f injektiv.
(b)Von den drei Ringen [mm] \IQ, \IR [/mm] und [mm] \IC [/mm] sind keine zwei isomorph zueinander. |
Hallo,
meine Idee zur (a) ist:
Die Aufgabenstellung ist ja: $f:K [mm] \to [/mm] R$ ist Ringhomomo. [mm] \Rightarrow [/mm] f ist injektiv ,K ist Körper, R ist Ring
Die Kontraposition wäre also: f ist nicht injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] $f:K [mm] \to [/mm] R$ ist kein Ringhomomo.
Und "f ist nicht injektiv" bedeutet ja: x [mm] \not= [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \not= [/mm] f(y)
Also muss ich doch jetzt nur zeigen, dass aus einer nicht-injektiven Abbildung kein Ring entstehen kann, oder?
Bsp: $f: [mm] (\IR,+,\cdot{}) \to \IZ, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 1$
[mm] \Rightarrow [/mm] f(2) + f(3) = 1+1 = 2 [mm] \not= [/mm] 1 = f(5) = f(2+3) = f(2) + f(3)
Stimmt das so?
Zur (b) hab ich eigentlich keine Idee die mich wirklich weiterbringt. Da muss ich ja zB zeigen, dass ich [mm] \IR [/mm] nicht auf [mm] \IQ [/mm] abbilden kann, oder? muss ich da mit Cantor argumentieren?
Danke für jegliche Tipps
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Zeigen Sie:
> (a) Ist [mm]f:K \to R[/mm] ein Ringhomomorphismus von einem Körper
> K in einen Ring R [mm]\not=[/mm] {0},
> so ist f injektiv.
> (b)Von den drei Ringen [mm]\IQ, \IR[/mm] und [mm]\IC[/mm] sind keine zwei
> isomorph zueinander.
> Hallo,
>
> meine Idee zur (a) ist:
>
> Die Aufgabenstellung ist ja: [mm]f:K \to R[/mm] ist Ringhomomo.
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist injektiv ,K ist Körper, R ist Ring
> Die Kontraposition wäre also: f ist nicht injektiv
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f:K \to R[/mm] ist kein Ringhomomo.
> Und "f ist nicht injektiv" bedeutet ja: x [mm]\not=[/mm] y
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\not=[/mm] f(y)
Nein, es bedeutet, dass es $x,y [mm] \in [/mm] K$ gibt: $x [mm] \not=y$ [/mm] aber $f(x)=f(y)$.
Dies bedeutet aber $0 = f(x)-f(y) = f(x-y)$. Es ist $x-y [mm] \in K\backslash\{0\} \Rightarrow [/mm] x-y$ ist invertierbar [mm] $\Rightarrow \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] K: f(z) = [mm] f\left(\frac{z}{x-y} \: x-y\right) [/mm] = [mm] f\left(\frac{z}{x-y}\right)f(x-y) [/mm] = [mm] f\left(\frac{z}{x-y}\right)*0 [/mm] = 0$ Damit ist f der Nullhomomorphismus im Widerspruch zur Voraussetzung. Damit muss f injektiv sein.
Eine kürzere Argumentation würde so aussehen: f ist Ringhom [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Kern f ist ein Ideal in K, da K aber Körper gibt es nur die Ideale [mm] $\{0\}$ [/mm] und K selbst. Ist Kern $f = K$ so ist f=0 im Widerspruch zur Vorraussetzung, also gilt Kern f = [mm] $\{0\}$ [/mm] und damit ist f injektiv.
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> Also muss ich doch jetzt nur zeigen, dass aus einer
> nicht-injektiven Abbildung kein Ring entstehen kann, oder?
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> Bsp: [mm]f: (\IR,+,\cdot{}) \to \IZ, x \mapsto 1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(2) + f(3) = 1+1 = 2 [mm]\not=[/mm] 1 = f(5) = f(2+3) =
> f(2) + f(3)
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> Stimmt das so?
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> Zur (b) hab ich eigentlich keine Idee die mich wirklich
> weiterbringt. Da muss ich ja zB zeigen, dass ich [mm]\IR[/mm] nicht
> auf [mm]\IQ[/mm] abbilden kann, oder? muss ich da mit Cantor
> argumentieren?
Angenommen [mm] $\IQ \cong \IR \Rightarrow \exists$ [/mm] Isomorphismus [mm] $\phi: \IR \to \IQ \Rightarrow$ [/mm] da [mm] $\phi$ [/mm] surjektiv, gibt es $x [mm] \in \IQ: \phi(x) [/mm] = 2 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 = [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \phi(\sqrt{x}\sqrt{x}) [/mm] = [mm] \phi(\sqrt{x})^2 \Rightarrow \phi(\sqrt{x}) [/mm] = [mm] \sqrt{2} \Rightarrow$ [/mm] Widerspruch, da [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] nicht in [mm] $\IQ$.
[/mm]
In den anderen Fällen kannst du dir ähnliche Widersprüche konstruieren.
Viele Grüße, Lippel
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Hi Lippel,
vielen Dank für die schnellen und vorallem ausführlichen Antworten.
Ciao
Edit:Für alle die es interessiert: ich habe die Korrektur dieser Aufgabe heute erhalten.
Man hätte "Es gibt keinen Isomorphismus von [mm] \IR \to \IQ [/mm] bzw [mm] \IC \to \IQ" [/mm] einfach damit begründen können, dass [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist, [mm] \IC [/mm] bzw [mm] \IR [/mm] aber überabzählbar sind. Naja, ansonsten war alles richtig.
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