Injektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Farouk |
Ich steh grade etwas auf dem Schlauch was die Injektivität angeht.
sei f: V->W eine lineare Abbildung
und Basis von [mm] V=\{v_1, v_2.....,v_n\} [/mm]
Basis von [mm] W=\{w_1, w_2.....,w_n\} [/mm]
warum gilt [mm] f(v_1),f(v_2),.....f(v_n) [/mm] ist linear unabhänig wegen der Injektivität???
Injektiv heisst ja das jedem element aus v ein anderes Element aus w zugordnet wird
aber wenn jetzt z.b. gelten würde (total aus der Luft gegriffen)
f(1)=4 und f(2)=8 dann würde jedem Element aus V ein anderes Element aus W zugeordet aber trotzdem gild 2*f(1)=f(2) also linear abhängig
wo ist der denkfehler???
Gruss
Farouk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Sa 03.03.2007 | | Autor: | heyks |
> Ich steh grade etwas auf dem Schlauch was die Injektivität
> angeht.
> sei f: V->W eine lineare Abbildung
> und Basis von [mm]V=\{v_1, v_2.....,v_n\}[/mm]
> Basis von [mm]W=\{w_1, w_2.....,w_n\}[/mm]
>
> warum gilt [mm]f(v_1),f(v_2),.....f(v_n)[/mm] ist linear unabhänig
> wegen der Injektivität???
>
> Injektiv heisst ja das jedem element aus v ein anderes
> Element aus w zugordnet wird
> aber wenn jetzt z.b. gelten würde (total aus der Luft
> gegriffen)
> f(1)=4 und f(2)=8
dann würde jedem Element aus V ein
> anderes Element aus W zugeordet aber trotzdem gild
> 2*f(1)=f(2) also linear abhängig
>
> wo ist der denkfehler???
Das liegt daran, daß {1,2} keine Basis des [mm] \IR^1 [/mm] ist .
Um Deine Aussage zu beweisen, musst Du annehmen , daß
[mm]\{f(v_1),f(v_2),.....f(v_n)\}[/mm] linear abhängig sind . Wg. der Injektivität der linearen Abbildung ergibt sich ein Widerspruch zu linearen Unabhängikeit von [mm]\{v_1, v_2.....,v_n\}[/mm] .
MfG
Heiko
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