Injektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eine lineare Abbildung F: V [mm] \to [/mm] W ist genau
dann injektiv, wenn Kern F = {0} [mm] \subset [/mm] V ist.
Beweis:
=> Sei f injektiv und x [mm] \in [/mm] Kern F. Aus F(x) = 0 = F(0) folgt dann x=0 d. h. Kern F = {0} |
Wo kommt F(x) = 0 = F(0) her?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:...
|
|
| |
|
> Eine lineare Abbildung F: V [mm]\to[/mm] W ist genau
> dann injektiv, wenn Kern F = {0} [mm]\subset[/mm] V ist.
>
> Beweis:
> => Sei f injektiv und x [mm]\in[/mm] Kern F. Aus F(x) = 0 = F(0)
> folgt dann x=0 d. h. Kern F = {0}
> Wo kommt F(x) = 0 = F(0) her?
Hallo,
1. was bedeutet es, wenn x im Kern von F ist?
2. Was ist das Bild der 0 unter einer linearen Abbildung?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Angela ,
1- F(x) = 0 [mm] x\in [/mm] V.
2- Es ist ein Untervektorraum von W.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo
Ich glaube, die Antworten die dir weiterhelfen sind:
1) x wird durch die lineare Abbildung auf 0 abgebildet.
2) Das bild der 0 unter der Abbildung ist 0
Darum gilt F(x) = 0 = F(0)
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
> 2) Das bild der 0 unter der Abbildung ist 0
>
> Darum gilt F(x) = 0 = F(0)
>
> Grüsse, Amaro
Warum das Bild der 0 unter der Abbildung ist 0. Kannst du es zeigen??
|
|
|
| |
|
Hallo
Nun, sagen wir mal, du hast eine lineare Abbildung F
F hat eine darstellende Matrix, die im Fall von beispielsweise (damit es übersichtlich bleibt ^^) n = 3 i.A so aussieht:
M(F) = [mm] \pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}}
[/mm]
Wenn du jetzt den 0-Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] mit F abbilden möchtest, musst du ja:
[mm] \pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}}*\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] = ?
Nun, was sich hinter diesem Fragezeichen verbirgt, wirdst du glaube ich erraten können ;)
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
> Warum das Bild der 0 unter der Abbildung ist 0. Kannst du
> es zeigen??
Hallo,
für lineare Abbildungen gilt [mm] f(\lambda x)=\lambda [/mm] F(x) für alle x und [mm] \lambda. [/mm] Mit [mm] \lambda=0 [/mm] folgt die Behauptung.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
