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| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussage:
Sei V ein vektorraum und T:V [mm] \to [/mm] V eine lineare Abbildung
dann
[mm] Ker(T)=\{0\} \Rightarrow [/mm] T ist injektiv |
Hallo,
das ist meine Idee ist die folgende:
Seien [mm] u,w\in [/mm] V.
T(v)=T(w) [mm] \Rightarrow [/mm] T(v)-T(w)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] T(v-w)=0 [mm] \Rightarrow v-w\in [/mm] Ker(T) [mm] \Rightarrow [/mm] v-w=0 weil [mm] Ker(T)=\{0\} \Rightarrow [/mm] v=w .
T ist injektiv.
Wäre das als Beweis ausreichend ?
Wie könnte man die umgekehrte Implikation beweisen ?
Lg
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Hallo!
> Beweisen Sie folgende Aussage:
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> Sei V ein vektorraum und T:V [mm]\to[/mm] V eine lineare Abbildung
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> dann
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> [mm]Ker(T)=\{0\} \Rightarrow[/mm] T ist injektiv
> Hallo,
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> das ist meine Idee ist die folgende:
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> Seien [mm]u,w\in[/mm] V.
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> T(v)=T(w) [mm]\Rightarrow[/mm] T(v)-T(w)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] T(v-w)=0
> [mm]\Rightarrow v-w\in[/mm] Ker(T) [mm]\Rightarrow[/mm] v-w=0 weil
> [mm]Ker(T)=\{0\} \Rightarrow[/mm] v=w .
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> T ist injektiv.
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> Wäre das als Beweis ausreichend ?
> Wie könnte man die umgekehrte Implikation beweisen ?
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Das ist ok. Die Umkehrung ist eigentlich noch einfacher. Du solltest wissen, dass der Kern eines Homomorphismus immer die Null enthält.
Sei nun T injektiv. Angenommen es gibt [mm] v\in [/mm] Ker(T) und [mm] v\neq [/mm] 0. Dann steckt in dieser Annahme bereits ein Widerspruch zur Injektivität. Fertig.
Gruß
Sleeper
> Lg
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