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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 Do 01.11.2007 | | Autor: | Memorius |
| Aufgabe | Seien A, B Mengen und f: A [mm] \to [/mm] B.
Zu beweisen:
f injektiv [mm] \to [/mm] Für alle C [mm] \subset [/mm] A gilt [mm] f^{-1}(f(C)) [/mm] = C
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Hallo!
Da die Inklusion C [mm] \subset f^{-1}(f(C)) [/mm] immer gilt (den Beweis aufzuschreiben spare ich mir jetzt), muss lediglich gezeigt werden, dass
[mm] f^{-1}(f(C)) \subset [/mm] C dann gilt, wenn f injektiv ist.
Was ich auch sehr wohl nachzuvollziehen kann, denn gilt:
C = { [mm] c_1, c_2 [/mm] } mit der Vorschrift [mm] c_1 \mapsto [/mm] a, [mm] c_2 \mapsto [/mm] a,
kann die Umkehrabbildung [mm] f^{-1}(f(C)) [/mm] nicht mehr mit C angegeben werden.
Allerdings bekomme ich es auf Gedeih und Verderb nicht auf die Reihe, das ganze ins "Mathe-Latein" zu fassen.
Würde bitte jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Fr 02.11.2007 | | Autor: | statler |
Hi, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Seien A, B Mengen und f: A [mm]\to[/mm] B.
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> Zu beweisen:
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> f injektiv [mm]\to[/mm] Für alle C [mm]\subset[/mm] A gilt [mm]f^{-1}(f(C))[/mm] = C
> Da die Inklusion C [mm]\subset f^{-1}(f(C))[/mm] immer gilt (den
> Beweis aufzuschreiben spare ich mir jetzt), muss lediglich
> gezeigt werden, dass
>
> [mm]f^{-1}(f(C)) \subset[/mm] C dann gilt, wenn f injektiv ist.
> Allerdings bekomme ich es auf Gedeih und Verderb nicht auf
> die Reihe, das ganze ins "Mathe-Latein" zu fassen.
Da Latein leider auch unter Mathematikern ziemlich tot ist, bevorzuge ich den Ausdruck 'Mathe-Speak'.
Sei also f injektiv und x [mm] \in f^{-1}(f(C)). [/mm] Dann ist f(x) [mm] \in [/mm] f(C) nach Definition der Urbildmenge. Dann gibt es ein y [mm] \in [/mm] C mit f(y) = f(x) nach Definition von f(C). Da f injektiv ist, folgt daraus x = y. Aber da y [mm] \in [/mm] C war, heißt das x [mm] \in [/mm] C, womit die Inklusion bewiesen ist. In dieser Abfolge muß dir alles so klar sein wie nur irgendwas. Sonst mußt du da für dich noch weitere Schritte bzw. Texte einbauen oder mal um den Block gehen und darüber nachdenken.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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