Injektivität / Surjektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Do 12.10.2006 | | Autor: | diego |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität und auf Surjektivität.
(1) f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x) = (x-1) / (x² + 1) für alle x [mm] \in \IR [/mm] |
Hallo,
zu erst, ich habe die Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So, jetzt mein Lösungsvorschlag bzw. meine Frage
Injektivität: f(x) = f(x) Im folgenden ist x = y
(x-1) / (x²+1) = (y-1) / (y²+1)
(x-1) * (y²+1) = (y-1) * (x² + 1)
xy² + x - y² -1 = yx² + y - x² -1
xy² + x - y² = yx² + y - x²
Ist die Injektivität damit bewiesen???
Surjektivität: Ich glaube es ist surjektiv, da für jedem x - Wert ein y-Wert zugeordnet werden kann, der Fall dass im Nenner Null steht ausgeschlossen ist.
Vielen Dank für eure Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Do 12.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Injektivität: f(x) = f(x) Im folgenden
> ist x = y
> (x-1) / (x²+1) = (y-1) / (y²+1)
> (x-1) * (y²+1) = (y-1) * (x² + 1)
> xy² + x - y² -1 = yx² + y - x² -1
> xy² + x - y² = yx² + y - x²
> Ist die Injektivität damit bewiesen???
nein, noch nicht ganz - du musst ja zeigen, dass aus f(x)=f(x') FOLGT, dass x=x' sein muss.
(oder um es anders zu sagen : unterschiedliche x-Werte werden auch auf unterschiedliche f(x)-Werte abgebildet...)
bei dir sollte dann also irgendwann x=y rauskommen ,damit es injektiv ist..
kleiner Hinweis: was ist f(0) und f(-1) ?!?
> Surjektivität: Ich glaube es ist surjektiv, da für jedem
> x - Wert ein y-Wert zugeordnet werden kann, der Fall dass
> im Nenner Null steht ausgeschlossen ist.
ja die Funktion istauf ganz R definiert, aber das heißt nicht surjektivität.
surjektiv bedeutet, dass auch jedes y aus dem Bildbereich wirklich getroffen wird, also genauer:
sei f eine Abbildung von X anch Y
surjektiv ist f wenn jedes y aus Y mindestens einmal getroffen wird und injektiv, wenn es höchstens einmal getroffen wird...
du müsstest also allgemein zu einem gegebenen y ein entspr. x angeben, so dass f(x)=y
Schau dir doch mal den Graph der Funktion an - wird jedes y getroffen?
Aber auch hier solltest du nicht zu lange suchen, denn was erkennst du, wenn du die größen des Zählers und Nenners vergleichst?
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Do 12.10.2006 | | Autor: | diego |
Hallo DaMenge,
erstmal Danke für deine Antwort.
Erst zur Injektivität:
Ich habe jetzt deine beiden Vorschläge probiert und komme zu folgenden Ergebnissen:
f(0)
0y² +0 - y² = y0² + y - 0²
0+0-y²=0+y-0
-y² = y
Wenn x = y, also y = 0, dann ist 0=0 und die Aussage stimmt
f(-1)
(-1)y² + (-1) - y² = y (-1)² +y - (-1²)
-y² -1 - y² = y +y -1
-y² -y² = 2y
0=2y
Dann müsste y hier auch 0 sein, damit die Aussage wahr ist, oder?
Dann habe ich noch einen zweiten Ansatz probiert, der mir aber leider erst jetzt eingefallen ist.
Für f(2)=1/5 und f(3)=1/5, also gibt es nicht nur ein Urbild, f kann also nicht injektiv sein. Ist das jetzt richtig?
Bei der surjektivität bin ich noch nicht so viel weiter gekommen, da ich noch nicht so ganz verstanden habe wie ich das raus finde. Also f(x) kann nicht <0 sein. Hat das etwas damit zu tun?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Do 12.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Diego!
Bei Surjektivität ist zu zeigen, dass jedes [mm] y\in\IR [/mm] auch ein Urbild in [mm] \IR [/mm] besitzt.
Annahme f sei surjektiv.
Dann gibt es zu jedem [mm] y\in\IR [/mm] ein [mm] x\in\IR [/mm] mit f(x)=y.
Insbesondere existier zu y=1 ein solches [mm] x\in\IR.
[/mm]
Für dieses x gilt dann:
[mm] f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}=1
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] x^2+1=x-1
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 0=x^2-x+2
[/mm]
mit Lösungsformel für quadratische Gleichungen:
[mm] x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\wurzel{\frac{1}{4}-2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] es existiert kein [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] \frac{x-1}{x^2+1}=1
[/mm]
also war unsere Annahme falsch f ist nicht surjektiv
Schönen gruß nach Hagen
Sashman
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Do 12.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> f(0)
> 0y² +0 - y² = y0² + y - 0²
> 0+0-y²=0+y-0
> -y² = y
> Wenn x = y, also y = 0, dann ist 0=0 und die Aussage
> stimmt
>
> f(-1)
> (-1)y² + (-1) - y² = y (-1)² +y - (-1²)
> -y² -1 - y² = y +y -1
> -y² -y² = 2y
> 0=2y
> Dann müsste y hier auch 0 sein, damit die Aussage wahr
> ist, oder?
Was hast du denn hier versucht?
also ich sehe nicht, wieso du dort jetzt die werte eingesetzt hast, aber :
>
> Dann habe ich noch einen zweiten Ansatz probiert, der mir
> aber leider erst jetzt eingefallen ist.
> Für f(2)=1/5 und f(3)=1/5, also gibt es nicht nur ein
> Urbild, f kann also nicht injektiv sein. Ist das jetzt
> richtig?
Das ist richtig!
das meinte ich eigentlich auch mit : f(0)=-1 und f(-1)=-1
bei der surjektivität wurde dir ja nun schon geholfen..
viele grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Fr 13.10.2006 | | Autor: | diego |
Danke, jetzt hab ich die Aufgabe auch verstanden! Versuche mich jetzt an den anderen Teilaufgaben...
Melde mich also wahrscheinlich nochmal...
|
|
|
|
