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| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob die folgende Abbildungen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind und begründen Sie ihre Antwort:
a) [mm] \IC \mapsto \IC [/mm] : [mm] z\mapsto z^3 [/mm] |
Hallo Leute,
ich würde sagen, dass das es nicht surjektiv ist und auch nicht injektiv. Begründung: Es gibt ja unendlich viele Elemente in [mm] \IC [/mm] und wenn ich ein Element aus [mm] \IC z^3 [/mm] nehme gibt es immer noch Elemente die nicht "getroffen" werden. Deswegen nicht surjektiv. Es ist nicht injektiv, weil ich mit einer Zahl aus [mm] \IC [/mm] , die die Strecke (Betrag)= 1 hat mit einer geschickten Winkelwahl ja wieder auf die gleiche Zahl komme. (Strecken werden multipliziert und Winkel werden addiert ...)
Ist das so richtig??
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Tut mir leid, dass ich noch mal rein schreibe, aber hat keiner eine Ahnung ob das richtig ist?????
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> Überprüfen Sie, ob die folgende Abbildungen injektiv,
> surjektiv oder bijektiv sind und begründen Sie ihre
> Antwort:
> a) [mm]\IC \mapsto \IC[/mm] : [mm]z\mapsto z^3[/mm]
> Hallo Leute,
>
> ich würde sagen, dass das es nicht surjektiv ist und auch
> nicht injektiv. Begründung: Es gibt ja unendlich viele
> Elemente in [mm]\IC[/mm] und wenn ich ein Element aus [mm]\IC z^3[/mm] nehme
> gibt es immer noch Elemente die nicht "getroffen" werden.
> Deswegen nicht surjektiv. Es ist nicht injektiv, weil ich
> mit einer Zahl aus [mm]\IC[/mm] , die die Strecke (Betrag)= 1 hat
> mit einer geschickten Winkelwahl ja wieder auf die gleiche
> Zahl komme. (Strecken werden multipliziert und Winkel
> werden addiert ...)
>
> Ist das so richtig??
also injektiv ist diese funktion wirklich nicht ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
mit der bedingung f(a)=f(b) <=> a=b kannst du dass sehr schnell nachprüfen. da die 3. wurzel aus z³ mehrere ergebnisse liefert ist die funktion nicht injektiv.
glaube allerdings dass die funktion surjektiv ist.
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und warum glaubst du das? :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Mi 09.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Begründung for nicht injektiv ist schlecht! du musst nur ein echtes beisbiel angeben nicht so allgemein!
sutj wenn du glaubst es sei nicht suj. kannst du denn wenigstens 1 punkt angeben, der nicht erreicht wird?
Gruss leduart
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erstmal vielen dank :) also ich kann keinen punkt angeben, den ich nicht erreichen kann =>surjektiv
betrag(1) *cos 1/4 pi-isin1/4pi ist das gleiche wie
betrag(1)*cos 7/4 pi-isin7/4pi
hast du es so gemeint???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mi 09.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
für 1 betrag1 zu schreiben ist ja schrecklich!
und 2. seh ich nicht, was die 2 Zahlen mit [mm] z^3 [/mm] zu tun haben und
3. sind sie nicht gleich!
gib eine Zahl aus der Bildmenge an die mehr als 1 Urbild hat. also [mm] a=z1^3, a=z2^3 z1\ne [/mm] z2 dann ist die Abb nicht injektiv. Kannst du eigentlich mit jeder beliebigen machen, aber eine spezielle reicht auch !
Gruss leduart
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ich entschuldige mich für "betrag(1). wäre also der einfachste bildwert 0, oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Do 10.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast genau den einzigen gewählt der nur ein Urbild hat eben die 0
du sollst doch 2 Urbilder wirklich angeben die dasselbe Bild haben!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Chris161 |
Ich hab die gleiche Aufgabe
Ich habe es so gemacht
ich habe
[mm] z^{3} [/mm] mit z = (a+bi)
umgeformt und damit ein Polynom 3ter Ordung nähmlich
[mm] a^{3} +3a^{2}bi-3ab^{2}-b^{3}i
[/mm]
erhalten
ein Polynom 3ter Ordung hat doch 3 Lösungen und deckt [mm] \IR [/mm] komplett ab
Damit müsste ich doch auch beweisen können, dass z -> [mm] z^{3}
[/mm]
nicht injektiv aber surjektiv ist oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Sa 12.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. dass [mm] z^3 [/mm] jeden wert in [mm] \IC [/mm] annehmen kann geht nicht aus dem Polynom hervor.
2. die Lösungen welcher Gleichung meinst du ? [mm] z^3=w [/mm] ist doch schon ein Polynom dritten Grades? habt ihr denn gezeigt, dass das immer 3 vesch. komplexe lösungen hat. dann kannst du das verwenden, sonst solltest du sie hinschreiben!
wenn du dein polynom nimmst sind a,b ja reelle Zahlen, es ist in dem Sinn weder ein pol in a noch in b.
warum wirklich nicht die 3 nicht identischen Lösungen von [mm] z^3=w=|w|*e^{i\phi} [/mm] hinschreiben und begründen, dass es 3 verschiedene L. sind. Oder an einem beispiel wie etwa w=1 die 3 urbilder angeben!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Chris161 |
ok danke mal für die schnelle Antwort
allerdings versteh ich den 2. Teil deiner Antwort nicht.
Ich habe ja die Aussage
z [mm] \mapsto z^{3}
[/mm]
in
(a+bi) [mm] \mapsto a^{3} +3a^{2}bi-3ab^{2}-b^{3}i
[/mm]
umgewandelt
nach meinemVerständniss ist doch
[mm] a^{3} +3a^{2}bi-3ab^{2}-b^{3}i
[/mm]
jetzt meine Funktion F(a) mit der ich die Bildpunkte von z bestimme oder?
Und da diese Funktion als Polynom 3. Grades 3 Nullstellen und damit lösungen hat gibt es doch 3 mögliche Bildpunkte oder?...
oder ich rede totalen mathemathischen nonsens... durchaus auch möglich 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Sa 12.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. dein F(a)=$ [mm] a^{3} +3a^{2}bi-3ab^{2}-b^{3}i [/mm] $ ist ein Polynom in a nur wenn b fest ist. dann suchst du reelle lösg für a und ein pol. 3.ten grades hat nicht unbedingt mehr als eine reelle lösung°
2. du suchst nicht Nullstellen von F(a) sondern a,b so dass
[mm] a^{3} +3a^{2}bi-3ab^{2}-b^{3}i=u+iv
[/mm]
also hast du 2Gleichungen
[mm] a^3-3ab^2=u [/mm] und
[mm] 3a^2b-b^3=v
[/mm]
mit a,b,u,v reell
jetzt müsstest du eine Aussage für dieses GS kennen, die sagt dass es 3 Paare a,b gibt, die es lösen
Das könnte ich nur mit der Begründung, dass [mm] z^3=w [/mm] 3 verschiedene Lösungen hat, die ich angeben kann !
Wenn du auf andere Weise die 3 Lösg des obigen GS begründen kannst dann ist das gut
Gruss leduart
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