Injektivität bei f(x) = Ax < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 So 09.03.2008 | | Autor: | CGBS |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die angegebene Funktion f:R³->R³ injektiv ist. Begründen Sie, warum daraus die Surjektivität folgt, und bestimmen Sie die Matrix der Umkehrabbildung.
f(x) = [mm] \pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] x |
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
hi habe übermorgen Examensklausur....
ich habe folgende Idee: Wenn ich determinante bilde, diese ist dann ungleich null, also ist es injektiv weil alle [mm] x_{i} [/mm] eindeutig bestimmt sind. Surjektiv auch, weil alle Elemente in der Wertemenge getroffen werden.
Die Umkehrabbildung wäre doch dann :
y * B = x, mit B ist invers zu A.
Wäre die Aufgabe nach diesem Weg gelöst? Stimmt alles?
vielen dank!
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> Beweisen Sie, dass die angegebene Funktion f:R³->R³
> injektiv ist. Begründen Sie, warum daraus die Surjektivität
> folgt, und bestimmen Sie die Matrix der Umkehrabbildung.
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> f(x) = [mm]\pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm] x
> Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
>
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> hi habe übermorgen Examensklausur....
>
> ich habe folgende Idee: Wenn ich determinante bilde, diese
> ist dann ungleich null,
Hallo,
also ist [mm] A:=\pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] invertierbar.
Also gilt: f(x)=f(y) ==> Ax=Ay ==> [mm] A^{-1}Ax=A^{-1}Ay [/mm] ==> x=y, also injektiv.
Die Surjektivität folgt, weil Du es mit einer linearen Abbildung zu tun hast, bei welcher Start- und Zielraum dieselbe Dimension haben.
Alternativ: Rang der darstellenden Matrix=3, sie hat vollen Zeilen- und Spaltenrang, also ist die Abbildung f bijektiv.
also ist es injektiv weil alle
> [mm]x_{i}[/mm] eindeutig bestimmt sind. Surjektiv auch, weil alle
> Elemente in der Wertemenge getroffen werden.
>
> Die Umkehrabbildung wäre doch dann :
[mm] g(x):=A^{-1}x
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 So 09.03.2008 | | Autor: | CGBS |
hi erstmal vielen dank!
würde es reichen, wenn ich schreibe: det A ungleich null, also voller rang, also injektiv..dann müsste ich nicht umständlich zeigen f(x)=f(y)=>x=y
mit der umkehrabbildung denke ich hast du recht
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> hi erstmal vielen dank!
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> würde es reichen, wenn ich schreibe: det A ungleich null,
> also voller rang, also injektiv.
Hallo,
wenn Du mit dem Rang argumentieren willst, würde ich gleich sagen: voller Rang, also bijektiv.
Wenn es sich aber nicht um eine spezielle LA-Klausur handelt, ist zuvor auf jeden Fall erwähneswert, daß man eine lineare Abbildung vorliegen hat.
Gruß v. Angela
> dann müsste ich nicht
> umständlich zeigen f(x)=f(y)=>x=y
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> mit der umkehrabbildung denke ich hast du recht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 So 09.03.2008 | | Autor: | CGBS |
vielen dank!...Ist keine spezielle LA Klausur, ist Teilaufgabe einer alten Examensklausur, dann kann man ja erwähnen, dass es sich um Lin. Abb. handelt.
Also wenn sowas kommt, erwähn ich das und dann mit vollem rang, is schneller
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