Injektivität und Dimension < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
bei einer beliebigen Abbildung f (nicht unbedingt linear!) zwischen zwei Vektorräumen V und W, also [mm] f:V \rightarrow W [/mm] :
folgt aus der Injektivität von f, dass dim(Bild(f)) [mm] \geq [/mm] dim(V) ist ?
danke,
Daniel
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Salut!
Wie ich das im Moment sehe, ja:
Die Abbildung f : V [mm] \to [/mm] W ist injektiv. [mm] \gdw [/mm] { f(a) = n [mm] \wedge [/mm] f(b) = n [mm] \Rightarrow [/mm] a = b }
Unter dieser Voraussetzung kann man davon ausgehen, dass |V| [mm] \le|f(V)|, [/mm] da jedes verschiedene Elemenet aus V auf mindestens ein verschiedenes Element aus f(V) abgebildet wird.
Somit sollte in letzter Konsequenz auch dim(V) [mm] \le [/mm] dim (f(V)) [mm] \le [/mm] dim(W) meines Erachtens erfüllt sein.
Au revoir!
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Folgt aus [mm] |V| \leq |f(V)| [/mm] wirklich sofort [mm]dim(V) \leq dim(f(V))[/mm]? Es sieht irgendwie plausibel aus... aber so ganz überzeugt mich das noch nicht.
Kann man denn überhaupt z.B. [mm] | \IR^2 | > | \IR | [/mm] sagen? Sind nicht beide von unendlicher Mächtigkeit ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Lass das mal mit den Mächtigkeiten, das ist viel zu gefährlich. 
Der folgende Beweis gilt nur für lineare Abbildungen:
Machen wir es doch direkt:
Es sei [mm] $(v_i)_{i \in \I}$ [/mm] eine Basis von $V$. Zu zeigen ist: Wenn $f$ injektiv ist, dann ist [mm] $(f(v_i))_{i \in I}$ [/mm] linear unabhängig in $f(V)$.
Wir müssen zeigen, dass aus
(*) $0 = [mm] \lambda_1 \cdot f(v_{i_1}) [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot f(v_{i_2}) [/mm] + [mm] \ldots \lambda_n \cdot f(v_{i_n})$
[/mm]
folgt:
[mm] $\lambda_1= \lambda_2 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \lambda_n=0$.
[/mm]
Nun erhalten wir aber aus (*) wegen der Linearität von $f$:
$0 = [mm] f(\lambda_1 \cdot v_{i_1} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot v_{i_2} [/mm] + [mm] \ldots \lambda_n \cdot v_{i_n})$,
[/mm]
und daher wegen der Injektivität von $f$:
[mm] $\lambda_1 \cdot v_{i_1} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot v_{i_2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_n \cdot v_{i_n} [/mm] =0$.
Da [mm] $(v_i)_{i \in I}$ [/mm] in $V$ linear unabhängig ist, folgt:
[mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \lambda_n=0$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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Hallo,
das ist klar. Aber ich wollte nicht voraussetzen, dass f linear ist !
Sondern allgemein: f ist irgendeine Abbildung, die injektiv ist, muss dann die Dimension von der Bildmenge größer oder gleich der Dimension der Urbildmenge sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Für allgemeine Funktionen gilt das natürlich nicht, da es ja (nicht-stetige und nicht-lineare) Bijektionen von [mm] $\IR^2$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] gibt.
Viele Grüße
Julius
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Hallo Julius,
danke für deine Antworten, ich hatte zunächst dein Post nicht sehen können, sorry.
Kannst du mir ein (nicht zu kompliziertes ) Beispiel einer solchen Bijektion geben ?
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OK, das ist also doch etwas komplexer.... sieht aber interessant aus  ,danke!
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OK, bei f linear ist alles klar.
Wie sieht es aus, wenn f nicht linear, aber injektiv ist ?
Kann man zeigen, dass dann die Dimension der Bildmenge nicht kleiner sein kann als die Dimension der Urbildmenge? Oder gibt es ein Gegenbeispiel?
mfg
Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Auf die Frage habe ich hier bereits geantwortet.
Bitte stelle meine Antworten in Zukunft nicht auf "fehlerhaft", nachdem ich sie editiert und auf "beantwortet" gestellt habe. Danke!
Viele Grüße
Julius
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