Injektivität und Surjektivität < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Moin allerseits!
hab mal wieder eine Frage an der ich mal wieder gegen die Wand laufe. Ich soll für die folgende Funktion f; [mm] \ZZ [/mm] x [mm] \ZZ [/mm] --> [mm] \ZZ [/mm] x [mm] \ZZ [/mm] , wobei (m,n) --> (m-n,m+n) abgebildet wird, Injektivität und Surjektivität zeigen.
Bei der Injektivität muss ich ja zeigen:
f(m)=f(m´) und f(n)=f(n´) <=> m=m´ und n=n´
wie gehe ich da vor und wie mache ich das bei der Surjektivität!
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Do 03.11.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Moin allerseits!
Huhu,
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> hab mal wieder eine Frage an der ich mal wieder gegen die
> Wand laufe. Ich soll für die folgende Funktion f; [mm]\ZZ[/mm] x
Was soll denn $X$ sein. Eine Teilmenge des [mm] $\IR^2$?
[/mm]
> [mm]\ZZ[/mm] --> [mm]\ZZ[/mm] x [mm]\ZZ[/mm] , wobei (m,n) --> (m-n,m+n) abgebildet
> wird, Injektivität und Surjektivität zeigen.
>
> Bei der Injektivität muss ich ja zeigen:
>
> f(m)=f(m´) und f(n)=f(n´) <=> m=m´ und n=n´
Noa, praeziser musst du zeigen, dass
$f( (m,n) ) = f( (m',n') ) [mm] \Rightarrow [/mm] (m,n) = (m',n')$,
was dann aequivalent zu $m=m'$ und $n=n'$ ist.
>
> wie gehe ich da vor und wie mache ich das bei der
Fang doch mal an:
Aus $f( (m,n) ) = f( (m',n') )$ folgt doch
$m-n = m'-n' $
$m+n = m'+n'$.
Nun hast du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Das sollte doch sicherlich machbar sein ;)
> Surjektivität!
>
> Vielen Dank im Voraus!
Gruss,
Chris
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Soweit bin ich auch gekommen. Komme aber beim Auflösen nicht so ganz klar. Wie funktioniert der Beweis für die Surjektivität?
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Surjektivität zeigst du indem du:
zeigst, dass
für alle [mm] (a,b)\in X^2 [/mm] (Zielmenge) es ein mindestens ein [mm] (c,d)\in X^2 [/mm] (Definitionsmenge) gibt, so dass:
f(c,d)=(a,b)
f(c,d)=(c-d,c+d)=(a,b)
Dann erhalten wir:
c-d=a
c+d=b
Zeige nun, dass wenn ich dir ein beliebiges (a,b) gebe, du ein davon abhängiges Wertepaar (c,d) geben kannst, so dass beide Gleichungen erfüllt sind.
Zeige AUßERDEM: (c,d) liegt tatsächlich in [mm] X^2. [/mm] Ansonsten wärs ja keine Funktion mehr von [mm] X^2 [/mm] nach [mm] X^2
[/mm]
Ich schließe mich chris an, was ist denn [mm] X^2?
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:22 Fr 04.11.2016 | | Autor: | Chris84 |
Huhu sinnlos,
> Surjektivität zeigst du indem du:
>
> zeigst, dass
>
> für alle [mm](a,b)\in X^2[/mm] (Zielmenge) es ein mindestens ein
> [mm](c,d)\in X^2[/mm] (Wertemenge) gibt, so dass:
Anstatt "Wertemenge" meinst du bestimmt "Definitionsmenge" ;)
>
> f(c,d)=(a,b)
> f(c,d)=(c-d,c+d)=(a,b)
>
> Dann erhalten wir:
> c-d=a
> c+d=b
>
> Zeige nun, dass wenn ich dir ein beliebiges (a,b) gebe, du
> ein davon abhängiges Wertepaar (c,d) geben kannst, so dass
> beide Gleichungen erfüllt sind.
Das haengt ganz stark davon ab, was $X$ (oder [mm] $X^2$ [/mm] oder oder oder...) ist.
>
> Zeige AUßERDEM: (c,d) liegt tatsächlich in [mm]X^2.[/mm] Ansonsten
> wärs ja keine Funktion mehr von [mm]X^2[/mm] nach [mm]X^2[/mm]
>
Genau :)
> Ich schließe mich chris an, was ist denn [mm]X^2?[/mm]
Gruss,
Chris
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:45 Fr 04.11.2016 | | Autor: | sinnlos123 |
Hiho Chris,
Tatsächlich meinte ich Defintionsmenge.
Werd's mal editieren.
Viele guten Morgen Grüße
Jan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Fr 04.11.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
gib dir etwas mehr Mühe mit den Aufgaben: offensichtlich ist doch
[mm] X\subseteq \IZ \times \IZ
[/mm]
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:18 Fr 04.11.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Soweit bin ich auch gekommen. Komme aber beim Auflösen
> nicht so ganz klar. Wie funktioniert der Beweis für die
Zum Aufloesen: Addiere doch 'mal beide Gleichungen :) Dann bist du doch quasi fertig :)
> Surjektivität?
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