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Injektivität und Surjektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Sa 08.09.2007
Autor: Becky1

Aufgabe
Untersuchen Sie, ob die Funktion f:[0, [mm] \infty] [/mm] ---> [1, [mm] \infty) [/mm] f(x) [mm] x^{2}-4x+5 [/mm] injektiv bzw. surjektiv ist.

Hallo,

ich habe wie logt die Aufgabe gelöst:

f(x)= [mm] (x-2)^{2}+1 [/mm]

Da Quadrate nie Negativ werden können, f ist injektiv und surjektiv.

Ist das richtig?

Danke!

        
Bezug
Injektivität und Surjektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Sa 08.09.2007
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Das ist so nicht richtig.

Surjektiv ist die Funktion, da sie keine Definitionslücken besitzt, jedem x also ein y zugewiesen wird


Injektiv heißt aber, daß jedem y GENAU EIN x zugewiesen wird, und nicht MEHR! Das gilt für streng monotone Funktionen, aber i.a. sicher nicht für eine Parabel.


Deine Parabel hat ihr Minimum bei x=+2, demnach finden sich die y-werte für 0<x<2 auch für 2<x<4 wieder.

Stünde da (x+2)²+1, wäre die Funktion injektiv, da der linke Ast der Parabel dann nicht im angegebenen Intervall liegen würde.

Bezug
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