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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Orchis |
| Aufgabe | | (1) Ist f(x)=(x,x²) injektiv? (2) Ist das Differential injektiv? [mm] f:\IR\to\IR^2 [/mm] |
Hallo zusammen,
ich bin gerade etwas unsicher bei einem Beweis, dass diese vektorwertige Abbildung hier injektiv ist. Wäre schön, wenn da mal jemand drüberschauen würde :).
(1) Ansatz:
Wähle [mm] x,x'\in \IR [/mm] mit x [mm] \not= [/mm] x'.
Es gelte
f(x)=f(x')
[mm] \gdw \vektor{x \\ x^2}=\vektor{x' \\ x'^2}
[/mm]
[mm] \gdw \vektor{x - x' \\ x^2-x'^2}= \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Und diese Gleichung ist nur für den Fall x=x' wahr, d.h. f injektiv.
(2) Bestimme ich das Differential, welches im Falle der gegebenen Dimensionen auf einen Gradienten hinausläuft, sprich grad(f) = [mm] \vektor{1 \\ 2x}, [/mm] dann wird dieser für kein [mm] x\in\IR
[/mm]
zu (0,0). Dann würde daraus folgen, dass der Spaltenrang voll (nämlich 1) ist und somit f injektiv. Wäre das ein korrekter Beweis oder bin ich da ganz auf dem Holzweg. Wäre schön, wenn ihr mir ein paar Anregungen geben könntet.
Ach ja und wenn wir schon mal dabei sind :) ...(es geht um das Differential) für Surjektivität muss ja der Zeilenrang der darstellenden Matrix voll sein, das wird er aber nicht für x=0, d.h. diese Abbildung wäre also nicht surjektiv...stimmt das?
Vielen Dank schon mal im Voraus
Beste Grüße,
Orchis
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Hallo Orchis,
> Zeige, dass f(x)=(x,x²) injektiv ist. [mm]f:\IR\to\IR^2[/mm]
> Hallo zusammen,
> ich bin gerade etwas unsicher bei einem Beweis, dass diese
> vektorwertige Abbildung hier injektiv ist. Ansatz: Bestimme
> ich das Differential, welches im Falle der gegebenen
> Dimensionen auf einen Gradienten hinausläuft, sprich
> grad(f) = [mm]\vektor{1 \\
2x},[/mm] dann wird dieser für kein
> [mm]x\in\IR[/mm]
> zu (0,0). Dann würde daraus folgen, dass der Spaltenrang
> voll (nämlich 1) ist und somit f injektiv. Wäre das ein
> korrekter Beweis oder bin ich da ganz auf dem Holzweg.
> Wäre schön, wenn ihr mir ein paar Anregungen geben
> könntet.
Ich meine, dass das richtig ist (bin aber nicht ganz sicher). Aber: es geht doch viel einfacher über einen Widerspruchsbeweis. Die zweite Komponente für sich ist nicht injektiv, nimm also mal an, die Funktion sei es ebenfalls nicht un bringe das zu einem Widerspruch (im Falle von [mm] x^2=y^2 [/mm] müsste ja außer x=y ein weiteres Urbild existieren).
> Ach ja und wenn wir schon mal dabei sind :) ...für
> Surjektivität muss ja der Zeilenrang voll sein, das wird
> er aber nicht für x=0, d.h. diese Abbildung wäre also
> nicht surjektiv...stimmt das?
Ja, und das kann man sich genauso einfach klarmachen. Wenn auch nur eine Komponente, aufgefasst als Funktion vom Typ f: [mm] \IR\mapsto\IR [/mm] nicht surjektiv ist, wie soll es die vektorwertige Funktion dann sein?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Di 09.10.2012 | | Autor: | Orchis |
Hallo,
zunächst einmal danke für die Ansätze, aber (da du sehr schnell reagiert hast), hast du nicht gesehen, dass ich meinen Artikel nochmals korrigiert habe und einige andere Ansätze notiert habe.
In meiner ersten Text-Version würde ich sagen, habe ich nicht gezeigt, dass f injektiv ist, sondern, dass f' injektiv ist...die Frage ist natürlich irgendwo, ob man damit nicht auch gezeigt hätte, dass auch f injektiv ist. Wenn ja wüsste ich aber nicht, auf welche Sätze sich das stützen würde...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:16 Mi 10.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] f(x):=(x^2,x^2) [/mm]
[mm] (x\in \IR)
[/mm]
f ist nicht injektiv, f' ist injektiv.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Orchis |
Vielen Dank! Was mir aber immer noch schleierhaft ist: Laut der Vorlesung aus AnaI ist [mm] f:\IR\to\IR^n [/mm] genau dann injektiv, wenn das Differential df(x) für jedes x [mm] \not= [/mm] 0 ist.
Da aber hier offensichtlich für x=0 trotzdem das Differential "verschwindet" kann ja laut der VL die Funktion nicht injektiv sein...Wo ist der Denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Mi 10.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank! Was mir aber immer noch schleierhaft ist: Laut
> der Vorlesung aus AnaI ist [mm]f:\IR\to\IR^n[/mm] genau dann
> injektiv, wenn das Differential df(x) für jedes x [mm]\not=[/mm] 0
> ist.
Das stimmt doch schon im Falle n=1 nicht !
[mm] f(x)=x^3 [/mm] ist injektiv, [mm] f'(x)=3x^2 [/mm] verschwindet in x=0.
Zitiere den Satz mal Wort füe Wort.
FRED
> Da aber hier offensichtlich für x=0 trotzdem das
> Differential "verschwindet" kann ja laut der VL die
> Funktion nicht injektiv sein...Wo ist der Denkfehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Do 11.10.2012 | | Autor: | Orchis |
Meine Güte, das tut mir jetzt sehr leid, ich habe vor lauter Definitionsgepauke im Hirn irgendwie Injektivität mit INVERTIERBARKEIT verwechselt. Mittlerweile habe ich aber im Wesentlichen das mit der Injektivität verstanden. Ich hab das Ganze mal mit f(t) = (cos(t), sin(t)) einmal für den Def.-bereich [mm] \IR [/mm] und einmal für [mm] (\pi/2, 5\pi/2) [/mm] durchgespielt und
das war wirklich genau das richtige Bsp., um das richtig zu verstehen. :)
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