Injektivitaet von f(m,n) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:21 Di 06.11.2007 | | Autor: | Narokath |
| Aufgabe | | f sei die Abbildung von [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] in [mm] \IN [/mm] mit f(m,n) = [mm] x^{m}x^{n}. [/mm] Zeigen Sie, dass f injektiv ist. |
Hallo,
Ich hab schon eine Grundidee.
Zuersteinmal was ist injektiv?
f heisst eine injektive Fkt von X nach Y genau dann wenn f eine Fkt von X nach Y und aus x,x' [mm] \in [/mm] X und f(x)=f(x') folgt stehts x=x'
Also mit anderen Worten bei einer Funktion f:X->Y , wird JEDEM x [mm] \in [/mm] X ein y [mm] \in [/mm] Y zugewiesen (hierbei müssn nicht alle y aus Y einem X zugeordnet sein)
Die Frage ist natürlich nun wie man zeigt das hier f injektiv ist.
Ich vermute es geht in die Richtung das ich irgendwie zeigen muss das
[mm] \forall [/mm] x1,x2 [mm] \in \IN \wedge \forall [/mm] y1,y2 [mm] \in \IN [/mm] :
f(x1,y1)=f(x2,y1)
f(x1,y1)=f(x1,y2)
f(x1,y2)=f(x2,y2)
f(x2,y1)=f(x2,y2)
aber ob das stimmt und wie weiss ich nicht genau. Ein anstoßtipp wäre nett.
Danke
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> f sei die Abbildung von [mm]\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] in [mm]\IN[/mm] mit f(m,n) =
> [mm]x^{m}x^{n}.[/mm] Zeigen Sie, dass f injektiv ist.
> Hallo,
> Ich hab schon eine Grundidee.
>
> Zuersteinmal was ist injektiv?
> f heisst eine injektive Fkt von X nach Y genau dann wenn f
> eine Fkt von X nach Y und aus x,x' [mm]\in[/mm] X und f(x)=f(x')
> folgt stehts x=x'
Hallo,
ja, das bedeutet injektiv.
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> Also mit anderen Worten bei einer Funktion f:X->Y , wird
> JEDEM x [mm]\in[/mm] X ein y [mm]\in[/mm] Y zugewiesen (hierbei müssn nicht
> alle y aus Y einem X zugeordnet sein)
Du hast die Def. in Worten nicht richtig wiedergegeben.
Das jedem x ein y zugewiesen wird, ist die Eigenschaft einer jeden Funktion, sogar genau ein y.
Injektivität besagt: zu jedem y gibt es höchstens ein x welches darauf abgebildet wird.
Nun allerdings werde ich wirr. Hast Du die komplette Aufgabenstellung 1:1 angegeben? Was ist mit dem x? Gibt's da Angaben?
So, wie es jetzt dasteht, stell ich mir vor, daß x beliebig aber fest ist, da die Funktion nach [mm] \IN [/mm] abbilden soll, müßte es [mm] \in \IN [/mm] sein.
Dann ist die Funktion nicht injektiv. Es ist ja [mm] (1,2)\not= [/mm] (2,1) und die Funktionswerte stimmen überein.
Irgendetwas stimmt da nicht.
Ich fürchte, Du hast die Aufgabe verkehrt nacherzählt...
Sollst Du vielleicht zeigen, daß für alle [mm] n,m\in \IN [/mm] die Funktion
f(m,n): [mm] \IR \to \IR [/mm]
[mm] x\maps [/mm] to [mm] x^mx^n [/mm] injektiv ist?
Aber das stimmt ohne weitere Einschränkungen auch nicht...
Ich bin jetzt ratlos. Meine Hellsichtigkeit versagt an dieser Stelle.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Narokath |
Oh, tatsächlich... ich hab mich verschrieben
Also korrekt heisst es:
f sei die Abblidung von [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] in [mm] \IN [/mm] mit f(m,n)= [mm] 2^{m}2^{n} [/mm] . Zeigen Sie, das f injektiv ist.
da hab ich vergessen die x'es zu ersetzen.> > f sei die Abbildung von [mm]\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] in [mm]\IN[/mm] mit f(m,n) = [mm] 2^{m}3^{n}. [/mm] Zeigen Sie, das f injektiv ist.
Und genau in dem moment hab ich auch eine bessere Lösungsidee.
Ich weiss aus einer vorherigen aufgabe das das Produkt injektiv ist wenn 2funktionen jeweils injektiv ist.
also betrache ich das f: [mm] \IN [/mm] --> [mm] \IN [/mm] als Produkt von einer Funktion [mm] g(m)=2^{m} [/mm] und einer funktion [mm] h(n)=3^{n}
[/mm]
und muss nur noch für diese zeigen das sie Injektiv sind richtig?
würde ich denn so schreiben
[mm] g(2^{m}) [/mm] = [mm] g(2^{m'})
[/mm]
--> [mm] 2^{m}=2^{m'}
[/mm]
ich mein irgendwie ist es zu offensichtlich, weiss nicht ob das als beweis so reicht für g jetzt
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> Oh, tatsächlich... ich hab mich verschrieben
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> Also korrekt heisst es:
>
> f sei die Abblidung von [mm]\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] in [mm]\IN[/mm] mit f(m,n)=
> [mm]2^{m}3^{n}[/mm] . Zeigen Sie, das f injektiv ist.
>
> da hab ich vergessen die x'es zu ersetzen.> > f sei die
> Abbildung von [mm]\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] in [mm]\IN[/mm] mit f(m,n) = [mm]2^{m}3^{n}.[/mm]
> Zeigen Sie, das f injektiv ist.
>
> Und genau in dem moment hab ich auch eine bessere
> Lösungsidee.
> Ich weiss aus einer vorherigen aufgabe das das Produkt
> injektiv ist wenn 2funktionen jeweils injektiv ist.
Hallo,
das wundert mich aber...
Gegenbeispiel: g: [mm] \IR -->\IR [/mm] mit g(x):=-x ist injektiv.
[mm] g(x)*g(x)=x^2 [/mm] ist nicht injektiv.
Ich fürchte, Du hast das mit der Verkettung v. Funktionen verwechselt.
Um die Injektivität v. f zu zeigen, nimm m,m',n,n' [mm] \in \IN.
[/mm]
Es sei f(m,n)= f(m',n') ==> ... und nun mußt Du folgern, daß dann (m,n)= (m',n') ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Narokath |
Ok das mit der Injektivität hab ich mir nochmal zu gemüte geführt, ich hatte den falschen schluss gezogen, wir hatten dort 2 injektive und sollten zeigen das das Produkt dann auch injektiv ist...
Stellt sich mir die frage nur wie ich das denn zeigen soll
dann steht ja mehr oder minder [mm] 2^{m}3^{n}=2^{m'}3^{n'}
[/mm]
und (m,n)=(m',n')
also m=m' und n=n'
allerdings bin ich etwas überfragt wie ich das zeige, immerhin muss ich es ja nicht beweisen...
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> Stellt sich mir die frage nur wie ich das denn zeigen soll
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> dann steht ja mehr oder minder
Nee, mit "mehr oder minder" brauchst Du in Mathe nicht zu kommen. Da werden Nägel mit Köpfen gemacht.
"Es steht da".
[mm]2^{m}3^{n}=2^{m'}3^{n'}[/mm]
> und (m,n)=(m',n')
> also m=m' und n=n'
>
> allerdings bin ich etwas überfragt wie ich das zeige,
> immerhin muss ich es ja nicht beweisen...
Du täuschst Dich... "Zeigen" bedeutet "beweisen". Nicht nur so'n bißchen draufzeigen.
Bring mal alles mit 2 auf die eine seite mit 3 auf die andere und dann denk scharf nach.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Narokath |
mh OkxD
dann hat man 2m/2m' = 3n/3n'
das ist das gleiche wie [mm] 2^{m-m'}=3^{n-n'}
[/mm]
und [mm] 2^{a} [/mm] = [mm] 3^{b} [/mm] gilt anscheinend nur bei a und b = 0
denn... wenn ich 2 ungerade Zahlen multipliziere entsteht eine ungerade...
richtig so?
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> mh OkxD
> dann hat man 2m/2m' = 3n/3n'
> das ist das gleiche wie [mm]2^{m-m'}=3^{n-n'}[/mm]
>
> und [mm]2^{a}[/mm] = [mm]3^{b}[/mm] gilt anscheinend nur bei a und b = 0
> denn... wenn ich 2 ungerade Zahlen multipliziere entsteht
> eine ungerade...
Ja, das ist eine gute Begründung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mi 07.11.2007 | | Autor: | Vectro |
> und [mm]2^{a}[/mm] = [mm]3^{b}[/mm] gilt anscheinend nur bei a und b = 0
> denn... wenn ich 2 ungerade Zahlen multipliziere entsteht
> eine ungerade...
ich frage mich, ob man diesen Teil des Beweises nicht weglassen kann,
schliesslich gilt nach Defintion wie schon vorher gesagt wurde:
[mm]
(m,n)=(m',n') \Rightarrow m=m' \wedge n=n'
\Rightarrow 2^{m-m'}=2^{m-m}=2^0=1=3^0=3^{n-n}=3^{n-n'} [/mm]
oder täusche ich mich da?
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> > und [mm]2^{a}[/mm] = [mm]3^{b}[/mm] gilt anscheinend nur bei a und b = 0
> > denn... wenn ich 2 ungerade Zahlen multipliziere
> entsteht
> > eine ungerade...
>
> ich frage mich, ob man diesen Teil des Beweises nicht
> weglassen kann,
> schliesslich gilt nach Defintion wie schon vorher gesagt
> wurde:
>
> [mm]
(m,n)=(m',n') \Rightarrow m=m' \wedge n=n'
\Rightarrow 2^{m-m'}=2^{m-m}=2^0=1=3^0=3^{n-n}=3^{n-n'}[/mm]
>
> oder täusche ich mich da?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du täuschst Dich.
Wir wollen zeigen, daß die Funktion injektiv ist.
Dazu müssen wir ZEIGEN: f(m,n)=f(m',n') ==> (m,n)=(m',n').
Unsere Voraussetzung ist f(m,n)=f(m',n'). Und hieraus folgert man, daß zwangsläufig (m,n)=(m',n') gelten muß. Die Überlegung mit der Teilbarkeit ist ein Stück auf dem Weg dorthin.
Gruß v. Angela
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