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| Aufgabe | | Sei f : [0, 1] [mm] \Rightarrow \IR [/mm] eine stetige Funktion mit einem Maximum an der Stelle a e (0, 1). Zeigen Sie, dass f nicht injektiv ist. |
Könnt ihr mir vllt weiter helfen und zeigen, wie ich die nicht injektivität zeigen soll?
Im intervall [0;1] ist sie ja eig injektiv.
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Die funktion lautet : f(x) = [mm] x^2-4x+1
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 So 17.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die funktion lautet : f(x) = [mm]x^2-4x+1[/mm]
es ist
[mm] $f(x)=x^2-4x+1=(x-2)^2-3\,.$
[/mm]
Da sieht man doch sofort, dass diese Funktion KEIN Maximum an einer Stelle
$a [mm] \in [/mm] (0,1)$ hat. Als Funktion $[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] ist sie auch injektiv (und stetig).
Man sieht sogar: Auf $[0,1]$ fällt sie streng (das kann man sich sofort
klarmachen, wenn man sich klarmacht, wie das Bild des Graphen aussieht,
oder, weil [mm] $f\,'(x)=2*(x-2) [/mm] < 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ gilt).
Bist Du vielleicht in der Aufgabe verrutscht und die Funktion bezog sich auf
eine andere Aufgabe? Deine Ausgangsfrage war doch eine sehr allgemeine
Situation!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 So 17.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f : [0, 1] [mm]\Rightarrow \IR[/mm] eine stetige Funktion mit
> einem Maximum an der Stelle a e (0, 1). Zeigen Sie, dass f
> nicht injektiv ist.
> Könnt ihr mir vllt weiter helfen und zeigen, wie ich die
> nicht injektivität zeigen soll?
> Im intervall [0;1] ist sie ja eig injektiv.
nein; Du sollst doch gerade zeigen, dass es keine stetige injektive Funktion
mit Maximum an $a [mm] \in [/mm] (0,1)$ geben kann.
Sei also [mm] $f\,$ [/mm] wie oben. Sei [mm] $x_0 \in [/mm] (0,a)$ so, dass
$f(x) < [mm] f(a)\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in [x_0,a)$
[/mm]
gilt. Solch' ein [mm] $x_0$ [/mm] existiert, weil [mm] $f\,$ [/mm] ein lokales Maximum an a hat.
Nach dem ZWS gilt
[mm] $[f(x_0),\,f(a)]\;\subseteq\;f([x_0,a])$.
[/mm]
Nun sei [mm] $x_1 \in [/mm] (a,1)$ mit
$f(x) < [mm] f(a)\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in (a,x_1)\,.$
[/mm]
Nach dem ZWS gilt
[mm] $[f(x_1),\,f(a)] \;\subseteq \;f([a,x_1])$. [/mm] (Beachte [mm] $f(x_1) [/mm] < f(a)$ und $a < [mm] x_1$.)
[/mm]
Begründe kurz: Es gilt sogar
[mm] $[f(x_0),\,f(a)\red{)}\;\subseteq\;f([x_0,a\red{)})$
[/mm]
und
[mm] $[f(x_1),\,f(a)\red{)} \;\subseteq \;f(\red{(}a,x_1])$.
[/mm]
Folgere nun unter Beachtung von [mm] $f(x_0),f(x_1) [/mm] < a$, dass
[mm] $f([x_0,a\red{)}) \cap f(\red{(}a,x_1]) \neq \varnothing$.
[/mm]
Alternativ (und vielleicht ein wenig einfacher): Seien [mm] $x_0,x_1$ [/mm] wie oben.
1. Fall: Sei [mm] $f(x_0) [/mm] > [mm] f(x_1)\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $f(x_0) \in [f(x_1),f(a)) \subseteq [f(x_1),f(a)]$
[/mm]
und nach dem ZWS gilt weiterhin
[mm] $[f(x_1),f(a)]\;\subseteq f([a,x_1])\,,$
[/mm]
also [mm] $f(x_0)=f(x_2)$ [/mm] mit einem [mm] $x_2 \in [a,x_1]$, [/mm] also wegen [mm] $x_0 [/mm] < a$ und [mm] $x_2 \ge [/mm] a$
insbesondere [mm] $x_2 \neq x_0\,.$
[/mm]
2. Fall: Sei [mm] $f(x_0) \le f(x_1)\,.$ [/mm] Ist [mm] $f(x_0)=f(x_1)$, [/mm] so ist die Nichtinjektivität bereits
klar. Sei also [mm] $f(x_0) [/mm] > [mm] f(x_1)$. [/mm] Dann... (jetzt Du!).
Gruß,
Marcel
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